4.5. Нахождение коэффициентов фильтра

После рассмотрения общих операций над фильтрами возникает следующий вопрос: «Как находить коэффициенты фильтров?» Полный ответ на этот вопрос весьма непрост и выходит за рамки нашего изложения (см., например, [Akansu, Haddad 92]). В этом параграфе мы постараемся дать некоторое представление об основных правилах и методах вычисления коэффициентов различных банков фильтров.

Пусть имеется два прямых фильтра ,  и два обратных фильтра , , которые состоят из  отсчетов (число  предполагается четным). Обозначим их коэффициенты через

,  ,

,  .

Четыре вектора , ,  и  являются импульсными откликами четырех фильтров. Вот простейшие правила, позволяющие выбрать численные значения для этих векторов:

1. Нормализация: Вектор  имеет единичную длину.

2. Ортогональность: Для любого целого числа , удовлетворяющего неравенству , вектор, состоящий из первых  элементов , должен быть ортогонален вектору, составленному из последних  элементов того же вектора .

3. Вектор  состоит из компонентов вектора , записанных в обратном порядке.

4. Вектор  является копией , но с обратными знаками у компонент на нечетных позициях (первой, третьей и т.д.). Формально это можно выразить как покомпонентное умножение вектора  на вектор .

5. Вектор  является копией , но с обратными знаками у компонент на четных позициях (второй, четвертой и т.д.). То есть,  равен , умноженному на .

Для фильтра с двумя отсчетами правило 1 означает, что

.                               (4.10)

Правило 2 не применимо, так как  и неравенство  означает, что . Правила 3-5 дают соотношения

, , .

Значит, все зависит от выбора чисел  и . Однако, уравнения (4.10) не достаточно для их определения. Тем не менее, видно, что значения  удовлетворяют этому условию. Для фильтров из четырех отсчетов правила 1 и 2 означают, что

, ,       (4.11)

а правила 3-5 дают соотношения

,

,

.

Опять, уравнений (4.11) не достаточно для точного задания четырех неизвестных, поэтому необходимы дополнительные условия для вывода четырех коэффициентов (здесь помогает математическая интуиция). Эти коэффициенты приведены в (4.12), они образуют фильтр Добеши D4.

Для фильтра с восемью отсчетами, правила 1 и 2 приводят к уравнениям

,

,

,

,

а правила 3 5 записываются в виде соотношений

,

,

.

Восемь допустимых коэффициентов приведены в табл. 4.23 (они образуют (фильтр Добеши D8).

Табл. 4.23. Коэффициенты фильтра Добеши с 8 отсчетами.

Для задания  коэффициентов для каждого из фильтров , ,  и  необходимо знать коэффициенты с  по . Поэтому следует задать  уравнений для нахождения этих величин. Однако правила 1 и 2 дают только  уравнений. Значит, необходимо добавить новые условия для однозначного определения чисел с  по . Вот некоторые примеры таких условий:

Фильтр пропускания низких частот: Мы хотим, чтобы фильтр  пропускал только низкие частоты, поэтому имеет смысл потребовать, чтобы частотный отклик  был равен нулю для самой высокой частоты .

Минимальный фильтр фазы: Это условие означает, что нули комплексной функциий должны лежать на единичной окружности комплексной плоскости или вне ее.

Контролируемая колинеарность: Линейность фазового отклика можно контролировать с помощью нахождения минимума суммы

.

Другие условия обсуждаются в [Akansn, Haddad 92].