4.2. Преобразование Хаара

Преобразование Хаара использует функцию шкалы  и вейвлет , которые показаны на рис 4.14а, для представления широкого класса функций. Это представление имеет вид бесконечной суммы

,

где  и  - коэффициенты, которые необходимо определить.

Базисная функция шкалы  является единичным импульсом

Функция  является копией функции , сдвинутой вправо на число . Аналогично, функция  получается из функции  сжатием аргумента в два раза (это еще можно назвать уменьшением масштаба). Сдвинутые функции используются для аппроксимации функции  при различных моментах времени, а функции с разными масштабами нужны для аппроксимации функции  при более высоком разрешении. На рис. 4.14b приведены графики функций  при  и при . Базисный вейвлет Хаара  является ступенчатой функцией

Из этого определения мы заключаем, что общий вейвлет  получается из  сдвигом вправо на  единиц и сменой масштаба в  раз. Четыре вейвлета  при  показаны на рис. 4.14с.

Обе функции  и  не равны нулю на интервале ширины . Этот интервал называется носителем этих функций. Поскольку длина этого интервала стремится к нулю, когда  стремится к бесконечности, мы будем говорить, что функции имеют компактный носитель.

Проиллюстрируем основное преобразование с помощью простой ступенчатой функции

.

Легко видеть, что . Мы скажем, что исходные ступени (5,3) были преобразованы в представление, имеющее среднее (низкое разрешение) 4 единицы и детали (высокое разрешение) 1 единица. Если воспользоваться матричным представлением, то это можно записать как (5,3) , где  - матрица преобразования Хаара порядка 2 (см. уравнение (3.16)).

Рис. 4.14. Базисная шкала Хаара и вейвлетные функции.