§ 4. Другие тензоры; тензор инерции

В физике есть еще немало других примеров тензоров. В металле, например, или каком-либо другом проводнике зачастую оказывается, что плотность тока  приблизительно пропорциональна электрическому полю , причем константа пропорциональности называется проводимостью :

.

Однако для кристалла соотношение между  и  более сложно, проводимость в различных направлениях не одинакова. Она становится тензором, поэтому мы пишем

.

Другим примером физического тензора является момент инерции. В гл. 18 (вып. 2) мы видели, что момент количества движения  твердого тела, вращающегося относительно фиксированной оси, пропорционален угловой скорости , и коэффициент пропорциональности  мы назвали моментом инерции:

.

Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориентации относительно оси вращения. Моменты инерции прямоугольного бруска, например, относительно каждой из трех ортогональных осей будут разными. Но угловая скорость  и момент количества движения  - оба векторы. Для вращения относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления  и , вообще говоря, не совпадают (фиг. 31.4). Они связаны точно таким же образом, как  и , т. е. мы должны писать:

              (31.16)

Девять коэффициентов  называют тензором инерции. По аналогии с поляризацией кинетическая энергия для любого момента количества движения должна быть некоторой квадратичной формой компонент ,  и :

.                (31.17)

Мы можем снова воспользоваться этим выражением для определения эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно воспользоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. .

Фиг. 31.4. Момент количества движения  твердого предмета, вообще говоря, не параллелен вектору угловой скорости .

Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой  и скоростью  обладает кинетической энергией , а полная кинетическая энергия равна просто сумме

по всем частицам тела. Но скорость  каждой частицы связана с угловой скоростью  твердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем считать покоящимся. Если при этом  - положение частицы относительно центра масс, то ее скорость  задается выражением . Поэтому полная кинетическая энергия равна

.                       (31.18)

Единственное, что нужно теперь сделать, - это переписать  через компоненты , ,  и координаты , , , а затем сравнить результат с уравнением (31.17); приравнивая коэффициенты, найдем . Проделывая всю эту алгебру, мы пишем:

Умножая это уравнение на , суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что , например, равно

.

Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси , которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2).

Ну а поскольку , то эту же формулу можно написать в виде

.

Выписав остальные члены тензора инерции, получим

.                     (31.19)

Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначениях»:

,                      (31.20)

где через  обозначены компоненты  вектора положения частицы, а  означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения  с угловой скоростью :

.             (31.21)

Для любого тела независимо от его формы можно найти эллипсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относительно этих осей тензор будет диагональным, так что для любого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.