§ 4. Индуктивность с железным сердечником

Одно из наиболее важных применений магнитные материалы находят в электрических устройствах, например трансформаторах, электрических моторах и т. п. Объясняется это прежде всего тем, что с помощью железа можно контролировать поведение магнитного поля, а также при данном электрическом токе получать значительно большие поля. Например, типичное «тороидальное» индуктивное устройство во многом напоминает то, что изображено на фиг. 36.7. При большой индуктивности мы можем сделать устройство гораздо меньшего объема и затратить намного меньше меди, чем в эквивалентном устройстве с «воздушным сердечником». Поэтому при большой индуктивности мы добиваемся гораздо меньшего сопротивления обмотки, так что устройство более близко к «идеальному», особенно при низких частотах. Нетрудно качественно проследить, как работает такое устройство. Если в обмотке течет ток , то создаваемое внутри поле , как это видно из уравнения (36.20), пропорционально току . Напряжение  на выводах связано с магнитным полем . Если пренебречь сопротивлением обмотки, то напряжение  будет пропорционально . Индуктивность , которая равна отношению  к  (см. гл. 17, § 7, вып. 6), зависит, таким образом, от связи между  и  в железе. Поскольку  гораздо больше , то это во много раз увеличивает индуктивность, как будто малый ток в катушке, который обычно дает слабое магнитное поле, заставляет выстраиваться маленькие магнитики, сидящие в железе, и создает «магнитный» ток, который в огромное число раз больше внешнего тока в обмотке. Все происходит так, как будто в катушке возникает ток, намного больший, чем на самом деле. Когда мы меняем направление тока, все маленькие магнитики переворачиваются, внутренние токи потекут в другом направлении и наведенная э.д.с. получается гораздо больше, чем без железа. Если мы хотим вычислить индуктивность, то это можно сделать, вычисляя энергию наподобие того, как описано в гл. 17, § 8. Скорость, с которой энергия отдается источником тока, равна . Напряжение  равно площади поперечного сечения сердечника , умноженной на  и на . А согласно выражению (36.20), . Таким образом,

.

Интегрируя по времени, получаем

.              (36.21)

Заметьте, что  равно объему тора, поэтому плотность энергии , как мы показали, равна

.                      (36.22)

Здесь выявляется одно интересное обстоятельство. Когда в обмотке течет переменный ток, то  в железе «ходит» по петле гистерезиса. А поскольку  - неоднозначная функция , то интеграл  по замкнутому циклу равен не нулю, а площади, заключенной внутри петли гистерезиса. Таким образом, за каждый цикл источник тока отдает некоторую энергию, равную площади петли гистерезиса. Это есть потери из электромагнитного цикла; энергия уходит на нагревание железа. Такие потери называются гистерезисными. Чтобы они были поменьше, петлю гистерезиса желательно сделать как можно уже. Один из способов уменьшить площадь петли - это максимально уменьшить поле в каждом цикле. Для меньших максимальных полей мы получаем гистерезисную кривую, подобную изображенной на фиг. 36.9. Кроме того, применяются особые материалы с очень узкой петлей. Чтобы получить это свойство, специально создано так называемое трансформаторное железо, которое представляет сплав железа с небольшой примесью кремния.

Фиг. 36.9. Петля гистерезиса, не достигающая насыщения.

Когда петля гистерезиса очень мала, соотношение  и  приближенно можно представлять в виде линейного уравнения. Обычно пишут

.                    (36.23)

Здесь постоянная  вовсе не магнитный момент, с которым мы встречались раньше. Она называется магнитной проницаемостью. (Иногда ее называют также относительной проницаемостью.) Типичная проницаемость обычных сортов железа равна нескольким тысячам. Однако существуют специальные сплавы, типа так называемого «супермаллоя», проницаемость которых может быть порядка миллиона.

Если в уравнении (36.21) мы воспользуемся приближением , то энергию индуктивности, имеющей форму тора, можно записать как

,                   (36.24)

так что плотность энергии приближенно равна

.

Теперь мы можем выражение для энергии (36.24) положить равным энергии индуктивности  и найти . Получается

.

А воспользовавшись выражением (36.20) для отношения , находим

.                (36.25)

Таким образом, индуктивность пропорциональна . Если вам нужна индуктивность для таких устройств, как звуковые усилители, то желательно иметь материал, у которого связь между  и  достаточно линейна. [Вы, должно быть, помните, что в гл. 50 (вып. 4) мы говорили о генерации гармоник в нелинейных системах.] Для таких задач уравнение (36.23) будет очень хорошим приближением. С другой стороны, если нужно генерировать гармоники, то используют индуктивности, ведущие себя в высшей степени нелинейно. При этом вы должны пользоваться сложной кривой  и применять при вычислениях графические или численные методы.

В обычных «трансформаторах» на одном и том же торе, или сердечнике, из магнитного материала намотаны две катушки. (В больших трансформаторах сердечник для удобства делается прямоугольным.) При этом изменение тока в «первичной» обмотке вызывает изменение поля в сердечнике, которое индуцируется э.д.с. во «вторичной» обмотке. Поскольку поток через каждый виток обеих обмоток один и тот же, то величина отношения э.д.с. в этих двух обмотках такая же, как отношение числа витков в каждой из них. Напряжение, приложенное к первичной обмотке, преобразуется во вторичной в напряжение другой величины. А поскольку для создания требуемых изменений магнитного поля необходим определенный полный ток, то алгебраическая сумма токов в двух обмотках должна оставаться постоянной и равной требуемому «намагничивающему» току. При изменении напряжения изменяется и сила тока в обмотках, т. е. вместе с преобразованием напряжения происходит и преобразование тока.