§ 3. Число Рейнольдса

Посмотрим теперь, - как изменяется течение жидкости из-за нового члена с вязкостью. Рассмотрим несколько подробнее две задачи. Первая - обтекание жидкостью цилиндра; эту задачу мы пытались решить в предыдущей главе, используя теорию невязкой жидкости. Оказывается, что сегодня возможно найти решение вязких уравнений только для некоторых специальных случаев. Так что кое-что из того, что я расскажу вам, основано на экспериментальных измерениях, считая, конечно, что экспериментальная модель удовлетворяла уравнению (41.17).

Математически задача состоит в следующем: мы хотим найти решение для потока несжимаемой вязкой жидкости вблизи длинного цилиндра диаметром . Поток должен определяться уравнением (41.17) и

                   (41.18)

с условием, что скорость на больших расстояниях равна некоторой постоянной  (параллельной оси ), а на поверхности цилиндра равна нулю. Так что

                     (41.19)

при

.

Это полностью определяет математическую задачу.

Если вы вглядитесь в эти выражения, то увидите, что в задаче есть четыре различных параметра: , ,  и . Можно подумать, что нам придется иметь дело с целой серией решений для разных , разных  и т. д. Вовсе нет. Все возможные различные решения соответствуют разным значениям одного параметра. Такова наиболее важная общая вещь, которую мы можем сказать о вязком потоке. А чтобы понять, почему это так, заметьте сначала, что вязкость и плотность появляются в виде отношения , т. е. удельной вязкости. Это уменьшает число независимых параметров до трех. Предположим теперь, что все расстояния мы измеряем в единицах той единственной длины, которая появляется в задаче: диаметра цилиндра , т. е. вместо , ,  мы вводим новые переменные , , , причем

.

При этом параметр  из (41.19) исчезает. Точно так же если будем измерять все скорости в единицах , т. е. если мы положим , то избавимся от , a  на больших расстояниях будет просто равно единице. Поскольку мы фиксировали наши единицы длины и скорости, то единицей времени теперь должно быть , так что мы должны сделать подстановку:

.                     (41.20)

В наших новых переменных производные в уравнении (41.18) тоже изменятся: так,  перейдет в  и т. д., так что уравнение (41.18) превратится в

.                       (41.21)

А наше основное уравнение (41.17) перейдет в

.

Все постоянные при этом собираются в один множитель, который мы, следуя традиции, обозначим через :

.                 (41.22)

Если теперь мы просто запомним, что все наши уравнения должны выписываться для величин, измеряемых в новых единицах, то все штрихи можно опустить. Тогда уравнения для потока примут вид

               (41.23)

и

,

с условиями

для

                (41.24)

и

для

.

Что все это значит? Если, например, мы решили задачу для потока с одной скоростью  и некоторого цилиндра диаметром , а затем интересуемся обтеканием цилиндра другого диаметра  другой жидкостью, то поток будет одним и тем же при такой скорости , которая отвечает тому же самому числу Рейнольдса, т. е. когда

.                      (41.25)

В любых случаях, когда числа Рейнольдса одинаковы, поток при выборе надлежащего масштаба , ,  и  будет «выглядеть» одинаково. Это очень важное утверждение, ибо оно означает, что мы можем определить поведение потока воздуха при обтекании крыла самолета, не строя самого самолета и не испытывая его. Вместо этого мы можем сделать модель и провести измерения, используя скорость, которая дает то же самое число Рейнольдса. Именно этот принцип позволяет нам применять результаты измерений над маленькой моделью самолета в аэродинамической трубе или результаты, полученные с моделью корабля, к настоящим объектам. Напомню, однако, что это можно делать только при условии, что сжимаемостью жидкости можно пренебречь. В противном случае войдет новая величина - скорость звука. При этом различные модели будут действительно соответствовать друг другу только тогда, когда отношение  к скорости звука тоже приблизительно одинаково. Отношение скорости  к скорости звука называется числом Маха. Таким образом, для скоростей, близких к скорости звука или больших, поток в двух задачах будет выглядеть одинаково, если и число Маха и число Рейнольдса в обеих ситуациях одинаковы.