§ 3. Волны в диэлектрике

Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электромагнитные волны могут существовать в диэлектрическом веществе, где других зарядов, кроме тех, что связаны в атомах, нет. Таким образом, мы возьмем  и . При этом уравнения Максвелла примут такой вид:

                (32.19)

Мы можем решить эти уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операции ротора:

.

Используя затем векторное тождество

и подставляя выражение для  из (32.196), получаем

.

Используя уравнение (32.19а) для , находим

.              (32.20)

Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь получили, что даламбертиан  равен двум членам, содержащим поляризацию .

Однако  зависит от , поэтому уравнение (32.20) все еще допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропными диэлектриками, т. е.  всегда будет иметь то же направление, что и . Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси . Электрическое поле при этом будет изменяться как . Предположим также, что волна поляризована в направлении оси , т. е. что электрическое поле имеет только -компоненту. Все это записывается следующим образом:

.                    (32.21)

Вы знаете, что любая функция от  представляет волну, бегущую со скоростью . Показатель экспоненты в выражении (32.21) можно переписать в виде

,

так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая скорость которой равна

.

В гл. 31 (вып. 3) показатель преломления  определялся нами из формулы

.

С учетом этой формулы (32.21) приобретает вид

.

Таким образом, показатель  можно определить, если мы найдем ту величину , которая необходима, чтобы выражение (32.21) удовлетворяло соответствующим уравнениям поля, и затем воспользуемся соотношением

.                       (32.22)

В изотропном материале поляризация будет иметь только -компоненту; кроме того,  не изменяется с изменением координаты , поэтому  и мы сразу же избавляемся от первого члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем наш диэлектрик «линейным», поэтому  будет изменяться как  и . Лапласиан же в уравнении (32.20) превращается просто в , так что в результате получаем

.              (32.23)

Теперь на минуту предположим, что раз  изменяется синусоидально, то  можно считать пропорциональной , как в уравнении (32.5). (Позднее мы вернемся к этому предположению и обсудим его.) Таким образом, пишем

.

При этом  выпадает из уравнения (32.23), и мы находим

.                 (32.24)

Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом , задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравнениям поля. Использование же выражения (32.22) для показателя  дает

.              (32.25)

Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для показателя преломления газа (гл. 31, вып. 3).Там мы нашли уравнение (31.19), которое тогда имело вид

.                   (32.26)

Формула (32.25) после подстановки  из (32.6) дает

.                       (32.27)

Что здесь нового? Во-первых, появился новый член , возникший в результате учета поглощения энергии в осцилляторах. Во-вторых, слева вместо  теперь стоит  и, кроме того, отсутствует дополнительный множитель 1/2. Но заметьте, что если значение  достаточно мало, так что  близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит, что  равен единице плюс некое малое число, т. е. . При этом условии мы можем написать, что , и оба выражения оказываются эквивалентными. Таким образом, наш новый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат.

Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Во-первых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поляризованное поле, действующее на каждый из атомов, - это поле . Однако такое предположение неверно, поскольку в плотном материале существуют и другие поля, создаваемые соседними атомами, которые могут быть сравнимы с . Аналогичную задачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл. 11, вып. 5). Вы, вероятно, помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом; представив его сидящим в сферической полости в окружающем диэлектрике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным) увеличивается по сравнению со средним полем  на величину . (Не забудьте, однако, что этот результат, строго говоря, справедлив только для изотропного материала, а также в случае кубического кристалла.)

Те же рассуждения верны и для электрического поля в волне, но до тех пор, пока длина ее много больше расстояния между атомами. При таком ограничении

.                     (32.28)

Именно это локальное поле следует использовать вместо  в (32.8), т. е. это выражение должно быть переписано следующим образом:

.                      (32.29)

Подставляя теперь  из формулы (32.28), находим

,

или

.              (32.30)

Иными словами,  для плотного материала все еще пропорциональна  (для синусоидального поля). Однако константа пропорциональности будет уже , а не , как раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25):

.              (32.31)

Более удобно переписать это в виде

,                      (32.32)

который алгебраически эквивалентен прежнему. Это и есть известная формула Клаузиуса-Моссотти.

В плотном материале возникает и другое усложнение. Поскольку атомы расположены слишком тесно, они сильно взаимодействуют друг с другом. Поэтому внутренние гармоники осцилляции изменяются. Собственные частоты атомных осцилляций размазываются этими взаимодействиями и обычно весьма сильно подавляются ими, а коэффициент трения становится очень большим. Таким образом, все  и  твердого вещества будут другими, чем для свободных атомов. С этой оговоркой мы все-таки можем представлять , по крайней мере приближенно, уравнением (32.7), так что

.                       (32.33)

Наконец, последнее усложнение. Если плотный материал представляет собой смесь нескольких компонент, то каждая из них дает свой вклад в поляризацию. Полная  будет суммой вкладов различных компонент смеси [за исключением неточности приближения локального поля в упорядоченных кристаллах, т. е. выражения (32.28) - эффекты, которые мы обсуждали при разборе сегнетоэлектриков]. Обозначая через  число атомов каждой компоненты в единице объема, мы должны заменить формулу (32.32) следующей:

,                       (32.34)

где каждая  будет определяться выражением типа (32.7). Выражение (32.34) завершает нашу теорию показателя преломления. Величина  задается комплексной функцией частоты, каковой является средняя атомная поляризуемость . Точное вычисление  (т. е. нахождение ,  и ) для плотного вещества - одна из труднейших задач квантовой механики. Это было сделано только для нескольких особенно простых веществ.