§ 7. Тензоры высших рангов

Тензор напряжений  описывает внутренние силы в веществе. Если при этом материал упругий, то внутренние деформации удобно описывать с помощью другого тензора  - так называемого тензора деформаций. Для простого объекта, подобного бруску из металла, изменение длины , как вы знаете, приблизительно пропорционально силе, т. е. он подчиняется закону Гука

.

Для произвольных деформаций упругого твердого тела тензор деформаций  связан с тензором напряжений  системой линейных уравнений

.                      (31.26)

Вы знаете также, что потенциальная энергия пружины (или бруска) равна

,

а обобщением плотности упругой энергии для твердого тела будет выражение

.                       (31.27)

Полное описание упругих свойств кристалла должно задаваться коэффициентами . Это знакомит нас с новым зверем - тензором четвертого ранга. Поскольку каждый из индексов может принимать одно из трех значений - ,  или , то всего оказывается  коэффициент. Но различны из них на самом деле только 21. Во-первых, поскольку тензор  симметричен, у него остается только шесть различных величин, и поэтому в уравнении (31.27) нужны только 36 различных коэффициентов. Затем, не изменяя энергии, мы можем переставить  и , так что  должно быть симметрично при перестановке пары индексов  и . Это уменьшает число коэффициентов до 21. Итак, чтобы описать упругие свойства кристалла низшей возможной симметрии, требуется 21 упругая постоянная! Разумеется, для кристаллов с более высокой симметрией число необходимых постоянных уменьшается. Так, кубический кристалл описывается всего тремя упругими постоянными, а для изотропного вещества хватит и двух.

В справедливости последнего утверждения можно убедиться следующим образом. В случае изотропного материала компоненты  не должны зависеть от поворота осей. Как это может быть? Ответ: они могут быть независимы, только когда выражаются через тензоры . Но существует лишь два возможных выражения, имеющих требуемую симметрию, - это  и , так что  должно быть их линейной комбинацией. Таким образом, для изотропного материала

;

следовательно, чтобы описать упругие свойства материала, требуются две постоянные:  и . Я предоставляю вам самим доказать, что для кубического кристалла требуются три такие постоянные.

И еще один последний пример (на этот раз пример тензора третьего ранга) дает нам пьезоэлектрический эффект. При напряженном состоянии в кристалле возникает электрическое поле, пропорциональное тензору напряжений. Общий закон пропорциональности имеет вид

,

где  - электрическое поле, a  - пьезоэлектрические коэффициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены ), то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.