§ 6. Тензор напряжений

Встречавшиеся до сих пор симметричные тензоры возникали как коэффициенты, связывающие один вектор с другим. Сейчас я познакомлю вас с тензором, имеющим совершенно другой физический смысл, - это тензор напряжений. Предположим, что на твердое тело действуют различные внешние силы. Мы говорим, что внутри тела возникают различные «напряжения», имея при этом в виду внутренние силы между смежными частями материала. Мы уже говорили немного о подобных напряжениях в двумерном случае, когда рассматривали поверхностное натяжение напряженной диафрагмы (см. гл. 12, § 3, вып. 5). А теперь вы увидите, что внутренние силы в материале трехмерного тела записываются в виде тензора.

Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок из желе. Если мы разрежем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этими частями должны были действовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представьте себе, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендикулярную оси , подобную плоскости  на фиг. 31.5, и интересуемся силами, действующими на маленькой площадке , расположенной в этой плоскости. Материал, находящийся слева от площадки, действует на материал с правой стороны с силой  (фиг. 31.5,б). Есть, конечно, и обратная реакция, т.е. на материал слева от поверхности действует сила . Если площадка достаточно мала, то мы ожидаем, что сила  пропорциональна площади .

Фиг. 31.5. Материал, находящийся слева от плоскости  на площади , действует на материал, находящийся справа, с силой .

Вы уже знакомы с одним видом напряжений - статическим давлением жидкости. Там сила была равна давлению, умноженному на площадь, и направлена под прямым углом к элементу поверхности. Для твердого тела, а также движущейся вязкой жидкости сила не обязательно перпендикулярна поверхности: помимо давления (положительного или отрицательного), появляется еще и сдвигающая сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем тангенциальные компоненты сил, действующих на поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметьте еще, что если разрез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориентацией, то действующие на ней силы тоже будут другими. Полное описание внутренних напряжений требует применения тензоров.

Определим тензор напряжений следующим образом. Вообразите сначала разрез, перпендикулярный оси  и разложите силу , действующую на разрезе, на ее компоненты: , ,  (фиг. 31.6). Отношение этих сил к площади  мы назовем ,  и . Например,

.

Первый индекс  относится к направлению компоненты силы, а второй  - к направлению нормали к плоскости. Если угодно, площадь  можно записать как , имея в виду элемент площади, перпендикулярный оси , т. е.

.

А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси . Пусть на маленькую площадку  действует сила . Разлагая снова эту силу на три компоненты, как показано на фиг. 31.7, мы определяем три компоненты напряжения , ,  как силы, действующие на единичную площадь в этих трех направлениях. Наконец, проведем воображаемый разрез, перпендикулярный оси , и определим три компоненты ,  и . Таким образом, получается девять чисел:

.                     (31.23)

Фиг. 31.6. Сила , действующая на элементе площади , перпендикулярной оси , разлагается на три компоненты: ,  и .

Фиг. 31.7. Сила, действующая на элемент площади, перпендикулярной оси , разлагается на три взаимно перпендикулярные компоненты.

Я хочу теперь показать, что этих девяти величин достаточно, чтобы полностью описать внутреннее напряженное состояние, и что  - действительно тензор. Предположим, что мы хотим знать силу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, исходя из ? Можно, и это делается следующим образов. Вообразите маленькую призму, одна грань  которой наклонна, а другие - параллельны осям координат. Если окажется, что грань  параллельна оси , то получается картина, изображенная на фиг. 31.8. (Это, конечно, частный случай, но он достаточно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напряжения, действующие на эту призмочку, должны быть такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее полная сила должна быть равна нулю. Силы, действующие на грани, параллельные осям координат, известны нам непосредственно из тензора . А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань , так что эту силу можно выразить через .

Фиг. 31.8. Разложение на компоненты силы , действующей на грани  (с единичной нормалью ).

Наше допущение, что поверхностные силы, действующие на малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна. Заметьте, однако, что такие объемные силы будут пропорциональны объему призмочки и поэтому пропорциональны , , , тогда как поверхностные силы пропорциональны ,  и т. п. Итак, если размер призмочки взять достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными.

А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за -компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от каждой грани. Но если  достаточно мало, то силы от треугольных граней (перпендикулярные оси ) будут равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них можно забыть. На основание призмы действует компонента силы, равная

,

а -компонента силы, действующей на вертикальную прямоугольную грань, равна

.

Сумма этих двух сил должна быть равна -компоненте силы, действующей извне на грань . Обозначим через  единичный вектор нормали к грани , а через  - действующую на нее силу, тогда получим

.

Составляющая напряжения по оси , действующего в этой плоскости, равна силе , деленной на площадь, т. е. , или

.

Но, как видно из фиг. 31.8, отношение  - это косинус угла  между  и осью  и может быть записан как , т. е. -компонента вектора . Аналогично,  равно . Поэтому мы можем написать

.

Если теперь обобщить это на произвольный элемент поверхности, то мы получим

,

или в еще более общей форме:

.                       (31.24)

Так что мы действительно можем выразить силу, действующую на произвольную площадь, через элементы  и полностью описать внутреннее напряжение.

Уравнение (31.24) говорит, что тензор  связывает силу  с единичным вектором  точно так же, как  связывает  с . Но поскольку  и  - векторы, то компоненты  при изменении осей координат должны преобразовываться как тензор. Так что  действительно тензор.

Можно также доказать, что  - симметричный тензор. Для этого нужно обратить внимание на силы, действующие на маленький кубик в материале. Возьмем кубик, грани которого параллельны осям координат, и посмотрим на его разрез (фиг. 31.9). Если допустить, что ребра куба равны единице, то - и -компоненты сил на гранях, перпендикулярных к осям  и , должны быть такими, как показано на рисунке. Если взять достаточно маленький кубик, можно надеяться, что напряжение на его противоположных гранях будет отличаться ненамного, а поэтому компоненты сил должны быть равны и противоположны, как это показано на рисунке. Заметьте теперь, что на кубик не должен действовать никакой момент сил, иначе кубик начал бы вращаться. Но полный момент относительно центра равен произведению  на единичную длину ребра куба, а поскольку полный момент равен нулю, то  должно быть равно  и тензор напряжений, таким образом, оказывается симметричным.

Фиг. 31.9. - и -компоненты сил, действующих на четыре грани маленького единичного кубика.

Благодаря этой симметрии тензора  можно тоже описывать эллипсоидом с тремя главными осями. Напряжение имеет особенно простой вид на площадках, нормальных к этим осям: оно соответствует чистому сжатию или растяжению в направлении главных осей. Вдоль этих площадок нет никаких сдвиговых сил, причем такие оси, для которых отсутствуют сдвиговые силы, можно выбрать для любого напряжения. Если эллипсоид превращается в сферу, то в любом направлении действуют только нормальные силы. Это соответствует гидростатическому давлению (положительному или отрицательному). Таким образом, для гидростатического давления тензор диагоналей, причем все три компоненты его равны друг другу (фактически они просто равны давлению ). В этом случае мы можем написать

.                   (31.25)

Вообще говоря, тензор напряжений в куске твердого тела, а также его эллипсоид изменяются от точки к точке, поэтому для описания всего куска мы должны задать каждую компоненту  как функцию положения. Тензор напряжений, таким образом, является полем. Мы уже имели примеры скалярных полей, подобных температуре , и векторных полей, подобных , которые в каждой точке задавались тремя числами. А теперь перед нами пример тензорного поля, задаваемого в каждой точке пространства девятью числами, из которых для симметричного тензора  реально остается только шесть. Полное описание внутренних сил в произвольном твердом теле требует знания шести функций координат ,  и .