§ 2. Тензор упругости

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами - с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений  как -ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси . Закон Гука говорит, что каждая компонента  линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку  и  содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется  возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их , определив посредством уравнения

,                     (39.12)

где каждый значок , ,  и  может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты  связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор – на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.

Предположим, что все  известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций – тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравнения (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряжения и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче – это подумать об энергии. Когда сила  пропорциональна перемещению , скажем , то работа, затраченная на любое перемещение , равна . Подобным же образом энергия , запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной

.                (39.13)

Полная же работа , затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от  по всему его объему:

.                    (39.14)

Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минимальной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений  по всему телу, при которых  минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяемого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи.

Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в  содержится не 81 различный параметр. Поскольку  и  - симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то  состоит максимум из 36 различных компонент. Обычно же их гораздо меньше.

Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии  для него получается такой:

                   (39.15)

т. е. всего 81 слагаемое! Но кубический кристалл обладает определенными симметриями. В частности, если кристалл повернуть на 90°, то все его физические свойства останутся теми же. Например, у него должна быть одна и та же жесткость относительно растяжения как в направлении оси , так и в направлении оси . Следовательно, если мы переменим наши определения осей координат  и  в уравнении (39.15), то энергия не должна измениться. Поэтому для кубического кристалла

.             (39.16)

Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие , должны быть нулями. Кубический кристалл обладает тем свойством, что он симметричен при отражении относительно любой плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Если мы заменим  на , то ничего не должно измениться. Но изменение  на  меняет  на , так как перемещение в направлении  будет теперь перемещением в направлении . Чтобы энергия при этом не менялась, должно переходить в . Но отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому  должно быть таким же, как и . Это может произойти только тогда, когда оба они равны нулю.

Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом, можно сделать и !» Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игрека. Каждый  изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если  встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компоненты, у которых  встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те , у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для , имеют силу и для  и для .) Таким образом, выживают только компоненты типа , ,  и т. д. Однако мы уже показали, что если изменить все  на  и наоборот (или все  на  и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то же самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненулевые возможности:

                   (39.17)

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

.               (39.18)

У изотропного, т. е. некристаллического, материала симметрия еще выше. Числа  должны быть теми же самыми при любом выборе осей координат. При этом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами :

.             (39.19)

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений  должен быть связан с  способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто», - скажете вы. «Единственный способ получить  из  - умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: ». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор , умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с . Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по , - это . (Он преобразуется подобно , а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего  с  для изотропного материала, будет

.                (39.20)

(Первая константа обычно записывается как ; при этом коэффициент  равен модулю сдвига, определенному нами в предыдущей главе.) Постоянные  и  называются упругими постоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что

                      (39.21)

Таким образом, мы доказали, что уравнение (39.19) действительно правильное. Вы видите также, что упругие свойства изотропного материала, как уже говорилось в предыдущей главе, полностью задаются двумя постоянными.

Коэффициенты  могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга  и отношение Пуассона . На вашу долю оставляю показать, что

                 (39.22)