§ 2. Волны в плотных материалах

Прежде всего я напомню вам об удобном способе описания синусоидальных плоских волн, которым мы пользовались в гл. 36 (вып. 3). Любая компонента поля в волне (возьмем, например, ) может быть записана в форме

,                     (33.6)

где  - амплитуда поля в точке  (относительно начала координат) в момент . Вектор  указывает направление распространения волны, а его величина , равна волновому числу. Фазовая скорость волны  для света в материале с показателем  будет равна , поэтому

.                      (33.7)

Предположим, что вектор  направлен по оси ; тогда  будет просто хорошо знакомым нам . Для вектора  в любом другом направлении  следует заменить на  - расстояние от начала в направлении вектора , т. е.  мы должны заменить на , что как раз равно  (фиг. 33.2). Таким образом, запись (33.6) является удобным представлением волны, идущей в любом направлении.

Фиг. 33.2. Фаза волны в точке , распространяющейся в направлении , равна .

Разумеется, при этом мы должны помнить, что

,

где ,  и  - компоненты вектора  по трем осям. Мы уже отмечали однажды, что на самом деле величины  образуют четырехвектор и что его скалярное произведение на  является инвариантом. Таким образом, фаза волны есть инвариант и формулу (33.6) можно записать в виде

.

Однако сейчас нам такие хитрости не понадобятся.

Для синусоидального поля , подобного выражению (33.6), производная  - это то же самое, что и , а  - то же, что и , и аналогично для остальных компонент. Вы видите, чем удобна форма (33.6): когда мы работаем с дифференциальными уравнениями, то дифференцирование заменяется простым умножением. Другое полезное качество состоит в том, что операция  заменяется тремя умножениями . Но эти три множителя преобразуются как компоненты вектора , так что оператор  заменяется умножением на :

.                  (33.8)

Правило остается справедливым для операции  в любой комбинации, будь то градиент, дивергенция или ротор. Например, -компонента  равна

.

Если и  и  изменяются как , то мы получаем

,

что представляет, как вы видите, -компоненту .

Таким образом, мы получили очень полезный общий закон, что в любом случае, когда вам нужно взять градиент от вектора, который изменяется, как волна в трехмерном пространстве (а они в физике играют важную роль), эту операцию вы можете проделать быстро и почти без всяких раздумий, если вспомните, что оператор  эквивалентен умножению на .

Например, уравнение Фарадея

превращается для волны в

.

Оно говорит, что

.                  (33.9)

Это соответствует результату, найденному ранее для волн в пустом пространстве, т. е. что вектор  в волне направлен под прямым углом к вектору  и направлению распространения волны. (В пустом пространстве .) Знак в уравнении (33.9) вы можете проверить, исходя из того, что  является направлением вектора Пойнтинга .

Если вы примените то же самое правило к другим уравнениям Максвелла, то снова получите результаты последней главы, в частности

.                 (33.10)

Но раз уже это известно нам, давайте не будем проделывать все сначала.

Если вы хотите поразвлечься, можете попытаться решить такую устрашающую задачу (в 1890 г. она предлагалась студентам на выпускных экзаменах): решите уравнения Максвелла для плоской волны в анизотропном кристалле, т. е. когда поляризация  связана с электрическим полем  через тензор поляризуемости. Конечно, в качестве ваших осей вы выберете главные оси тензора, так что связи при этом упростятся (тогда , , a ), но направление волны и ее поляризация пусть останутся произвольными. Вы должны найти соотношение между  и  и определить, как изменяется  с направлением распространения волны и ее поляризацией. После этого вам будет понятна оптика анизотропного кристалла. Лучше начать с более легкого случая дважды лучепреломляющего кристалла, подобного турмалину, для которого два коэффициента поляризуемости равны между собой (например, ), и попытаться понять, почему, когда мы смотрим через такой кристалл, мы видим два изображения. Если это вам удастся, тогда испытайте свои силы на более трудном случае, когда все три  различны. После этого вам уже будет ясен уровень ваших знаний - знаете ли вы столько же, сколько студент, заканчивавший университет в 1890 г. Но мы с вами в этой главе будем рассматривать только изотропные вещества.

Из опыта вам известно, что когда на границу раздела двух материалов, скажем воздуха и стекла или воды и бензина, попадает плоская волна, то возникают как отраженная, так и преломленная волны. Предположим, что, кроме этого факта, нам больше ничего неизвестно, и посмотрим, что можно из него вывести. Выберем наши оси так, чтобы плоскость  совпадала с поверхностью раздела, а плоскость  была перпендикулярна фронту волны (фиг. 33.3).

Фиг. 33.3. Векторы распространения ,  и  для падающей, отраженной и преломленной волн.

Электрический вектор в падающей волне может быть записан в виде

.                    (33.11)

Поскольку вектор  перпендикулярен оси , то

.                    (33.12)

Отраженную волну мы запишем как

,                  (33.13)

так что ее частота равна , волновое число , а амплитуда . (Мы, конечно, знаем, что частота и величина вектора  в отраженной волне те же, что и в падающей волне, но не хотим предполагать даже это. Пусть это все получится само собой из математического аппарата.) Наконец, запишем преломленную волну:

.                  (33.14)

Вы знаете, что одно из уравнений Максвелла дает соотношение (33.9), так что для каждой из волн

.                        (33.15)

Кроме того, если показатели преломления двух сред мы обозначим через  и , то из уравнения (33.10) получится

.                        (33.16)

Поскольку отраженная волна находится в том же материале, то

,              (33.17)

в то время как для преломленной волны

.             (33.18)