Главa 31. ТЕНЗОРЫ

§ 1. Тензор поляризуемости

У физиков есть привычка брать простейший пример какого-то явления и называть его «физикой», а примеры посложнее отдавать на растерзание других наук, скажем прикладной математики, электротехники, химии или кристаллографии. Даже физика твердого тела для них, только «полуфизика», ибо ее волнует слишком много специальных вопросов. По этой-то причине мы в наших лекциях откажемся от множества интересных вещей. Например, одно из важнейших свойств кристаллов и вообще большинства веществ - это то, что их электрическая поляризуемость различна в разных направлениях. Если вы в каком-либо направлении приложите электрическое поле, то атомные заряды слегка сдвинутся и возникнет дипольный момент; величина же этого момента зависит очень сильно от направления приложенного поля. А это, конечно, усложнение. Чтобы облегчить себе жизнь, физики начинают разговор со специального случая, когда поляризуемость во всех направлениях одинакова. А другие случаи мы предоставляем другим наукам. Поэтому для наших дальнейших рассмотрений нам совсем не понадобится то, о чем мы собираемся говорить в этой главе.

Математика тензоров особенно полезна для описания свойств веществ, которые изменяются с направлением, хотя это лишь один из примеров ее использования. Поскольку большинство из вас не собираются стать физиками, а намерены заниматься реальным миром, где зависимость от направления весьма сильная, то рано или поздно, но вам понадобится использовать тензор. Вот, чтобы у вас не было здесь пробела, я и собираюсь рассказать вам про тензоры, хотя и не очень подробно. Я хочу, чтобы ваше понимание физики было как можно более полным. Электродинамика, например, у нас вполне законченный курс; она столь же полна, как и любой курс электричества и магнетизма, даже институтский. А вот механика у нас не закончена, ибо, когда мы ее изучали, вы еще не были столь тверды в математике и мы не могли обсуждать такие разделы, как принцип наименьшего действия, лагранжианы, гамильтонианы и т. п., которые представляют наиболее элегантный способ описания механики. Однако полный свод законов механики, за исключением теории относительности, у нас все же есть. В той же степени, как электричество и магнетизм, у нас закончены многие разделы. Но вот квантовую механику мы так и не закончим; впрочем, нужно что-то оставить и на будущее! И все же, что такое тензор, вам все-таки следует знать уже сейчас.

В гл. 30 мы подчеркивали, что свойства кристаллического вещества в разных направлениях различны - мы говорим, что оно анизотропно. Изменение индуцированного дипольного момента с изменением направления приложенного электрического поля - это только один пример, но именно его мы и возьмем в качестве примера тензора. Будем считать, что для заданного направления электрического поля индуцированный дипольный момент единицы объема  пропорционален напряженности прикладываемого поля . (Для многих веществ при не слишком больших  это очень хорошее приближение.) Пусть константа пропорциональности будет . Теперь мы хотим рассмотреть вещества, у которых  зависит от направления приложенного поля, например известный вам кристалл турмалина, дающий удвоенное изображение, когда вы смотрите через него.

Предположим, мы обнаружили, что для некоторого выбранного кристалла электрическое поле , направленное по оси , дает поляризацию , направленную по той же оси, а одинаковое с ним по величине электрическое поле , направленное по оси , приводит к какой-то другой поляризации , тоже направленной по оси . А что получится, если электрическое поле приложить под углом 45°? Ну, поскольку оно будет просто суперпозицией двух полей, направленных вдоль осей  и , то поляризация  равна сумме векторов  и , как это показано на фиг. 31.1,а. Поляризация уже не параллельна направлению электрического поля. Нетрудно понять, отчего так происходит. В кристалле есть заряды, которые легко сдвинуть вверх и вниз, но которые очень туго сдвигаются в стороны. Если же сила приложена под углом 45°, то эти заряды более охотно движутся вверх, чем в сторону. В результате такой асимметрии внутренних упругих сил перемещение идет не по направлению внешней силы.

Фиг. 31.1. Сложение векторов поляризации в анизотропном кристалле.

Разумеется, угол 45° ничем не выделен. То, что индуцированная поляризация не направлена по электрическому полю, справедливо и в общем случае. Перед этим нам просто «посчастливилось» выбрать такие оси  и , для которых поляризация  была направлена по полю . Если бы кристалл был повернут по отношению к осям координат, то электрическое поле , направленное по оси , вызвало бы поляризацию как по оси , так и по оси . Подобным же образом поляризация , вызванная полем, направленным вдоль оси , тоже имела бы как -, так и -компоненты. Так что вместо фиг. 31.1,а мы получили бы нечто похожее на фиг. 31.1,б. Но несмотря на все это усложнение, величина поляризации  для любого поля  по-прежнему пропорциональна его величине.

Рассмотрим теперь общий случай произвольной ориентации кристалла по отношению к осям координат. Электрическое поле, направленное по оси , дает поляризацию  с компонентами по всем трем осям, поэтому мы можем написать

.               (31.1)

Этим я хочу сказать лишь, что электрическое поле, направленное по оси , создает поляризацию не только в этом направлении, оно приводит к трем компонентам поляризации ,  и , каждая из которых пропорциональна . Коэффициенты пропорциональности мы назвали ,  и  (первый значок говорит, о какой компоненте идет речь, а второй относится к направлению электрического поля).

Аналогично, для поля, направленного по оси , мы можем написать

,              (31.2)

а для поля в -направлении

 .              (31.3)

Дальше мы говорим, что поляризация линейно зависит от поля; поэтому если у нас есть электрическое поле  с компонентами  и , то -компонента поляризации  будет суммой двух , определенных уравнениями (31.1) и (31.2), ну а если  имеет составляющие по всем трем направлениям ,  и , то составляющие поляризации  должны быть суммой соответствующих слагаемых в уравнениях (31.1), (31.2) и (31.3). Другими словами,  записывается в виде

                        (31.4)

Диэлектрические свойства кристалла, таким образом, полностью описываются девятью величинами , которые можно записать в виде символа . (Индексы  и  заменяют одну из трех букв: ,  или .) Произвольное электрическое поле  можно разложить на составляющие ,  и . Зная их, можно воспользоваться коэффициентами  и найти ,  и , которые в совокупности дают полную поляризацию . Набор девяти коэффициентов  называется тензором - в данном примере тензором поляризуемости. Точно так же как три величины  «образуют вектор », и мы говорим, что девять величин  «образуют тензор ».