§ 6. Волны в металлах

Теорию, которая в этой главе развивалась для твердых материалов, после очень небольшой модификации вполне можно применить и к хорошим проводникам типа металлов. На некоторые из электронов в металлах не действует сила, привязывающая их к какому-то частному атому; это так называемые «свободные» электроны, ответственные за проводимость. Там есть и другие электроны, которые связаны в атомах, и изложенная выше теория непосредственно приложима именно к ним. Однако их влияние обычно «забивается» эффектами электронов проводимости. Поэтому сейчас мы рассмотрим только эффекты свободных электронов.

Если на электрон не действует никакая восстанавливающая сила, но сопротивление его движению все же остается, то уравнение движения электрона отличается от (32.1) только отсутствием члена . Так что единственное, что нам нужно сделать, - это положить  всей остальной части наших выводов. Но есть еще одно отличие. В диэлектриках мы должны различать среднее и локальное поля и вот почему: в изоляторе каждый из диполей занимает фиксированное положение по отношению к другим диполям. Но в металле из-за того, что электроны проводимости движутся и меняют свое место, поле, действующее на них, в среднем как раз равно среднему полю . Так что поправка, которую мы сделали к формуле (32.5), не годится, т. е. применение формулы (32.28) для электронов проводимости недопустимо. Следовательно, выражение для показателя преломления в металле должно выглядеть подобно выражению (32.27), в котором следует положить , именно:

.                   (32.38)

Это только вклад от электронов проводимости, которые, как мы думаем, играют в металлах главную роль.

Но теперь мы даже знаем, какой нам взять величину , ибо она связана с проводимостью металла. В гл. 43 (вып. 4) мы обсудили связь проводимости металлов с диффузией свободных электронов в кристалле. Электроны движутся по ломаному пути от одного соударения до другого, а между этими толчками они летят свободно, за исключением ускорения из-за какого-то среднего электрического поля (фиг. 32.2). Там же, в гл. 43 (вып. 4), мы нашли, что средняя скорость дрейфа равна просто произведению ускорения на среднее время между соударениями . Ускорение равно , так что

.                      (32.39)

В этой формуле поле  считается постоянным, так что скорость  тоже постоянна. Поскольку в среднем ускорение отсутствует, сила торможения равна приложенной силе. Мы определили  через силу торможения, равную  [см. (32.1)], или , поэтому получается, что

.             (32.40)

Фиг. 32.2. Движение свободного электрона.

Несмотря на то, что мы не можем с легкостью измерять непосредственно , можно определять его, измеряя проводимость металла. Экспериментально обнаружено, что электрическое поле  порождает в металлах ток с плотностью , пропорциональной  (для изотропного материала, конечно):

,

причем постоянная пропорциональности  называется проводимостью.

В точности то же самое мы ожидаем из выражения (32.39), если положить

;

тогда

.                (32.41)

Таким образом, , а следовательно, и  могут быть связаны с наблюдаемой электрической проводимостью. Используя (32.40) и (32.41), можно переписать нашу формулу (32.38) для показателя преломления в виде

,             (32.42)

где

.             (32.43)

Это и есть известная формула для показателя преломления в металлах.