§ 2. Уравнения Максвелла в диэлектрике

Наличие в веществе поляризации означает, что там возникают поляризационные заряды и токи, которые необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении полей. Сейчас мы собираемся решать уравнения Максвелла для случая, когда заряды и токи не равны нулю, но неявно определяются вектором поляризации. Нашим первым шагом должно быть явное нахождение плотности зарядов  и плотности тока , усредненных по тому же самому малому объему, который имелся в виду при определении вектора . Потом необходимые нам значения  и  могут быть определены из поляризации. В гл. 10 (вып. 5) мы видели, что когда поляризация  меняется от точки к точке, то возникает плотность зарядов:

.                        (32.9)

В то время мы имели дело со статическими полями, но эта же формула справедлива и для переменных полей. Но когда  изменяется со временем, заряды движутся, так что появляется поляризационный ток. Каждый из осциллирующих зарядов вносит в ток свой вклад, равный произведению его заряда  на скорость . Когда же таких зарядов в единице объема  штук, то они создают плотность тока :

.

Ну а поскольку известно, что , то , что как раз равно . Следовательно, при переменной поляризации возникает плотность тока

.                 (32.10)

Наша задача стала теперь простой и понятной. Мы пишем уравнения Максвелла с плотностями заряда и тока, определяемыми поляризацией  посредством уравнений (32.9) и (32.10). (Предполагается, что других зарядов и токов в веществе нет.) Затем мы свяжем  с  формулой (32.5) и будем разрешать их относительно  и , отыскивая при этом волновое решение.

Но прежде чем приступить к решению, мне бы хотелось сделать одно замечание исторического характера. Первоначально Максвелл писал свои уравнения в форме, отличающейся от той, в которой они используются нами. И именно потому, что уравнения писались в другой форме в течение многих лет (да и сейчас многими пишутся так), я постараюсь объяснить вам разницу. В те дни механизм диэлектрической проницаемости не был понятен с ясностью и полнотой. Не была ясна ни природа атомов, ни существование поляризации в веществе. Поэтому тогда не понимали, что  дает дополнительный вклад в плотность заряда . Были известны только заряды, не связанные в атомах (такие, как заряды, текущие по проводу или возникающие при трении).

Сегодня же мы предпочитаем обозначать через  полную плотность зарядов, включая в нее и заряды, связанные с индивидуальными атомами. Если назвать эту часть зарядов , то можно написать

,

где  - плотность зарядов, учтенная Максвеллом и относящаяся к другим зарядам, не связанным с определенными атомами. При этом мы бы написали

.

После подстановки  из (32.9) получаем

,

или

.              (32.11)

В плотность тока, фигурирующую в уравнениях Максвелла для , вообще говоря, тоже вносится вклад от связанных атомных электронных токов. Поэтому мы можем написать

,

причем уравнение Максвелла приобретает вид

.               (32.12)

Используя уравнение (32.10), получаем

.                   (32.13)

Теперь вы видите, что если бы мы определили новый вектор

,             (32.14)

то два уравнения поля приняли бы вид

                 (32.15)

и

.                       (32.16)

Это и есть та форма уравнений, которую использовал Максвелл для диэлектриков. А вот и остальные два уравнения:

и

,

которые в точности совпадают с нашими.

Перед Максвеллом и другими учеными того времени вставала проблема магнетиков (за них мы вскоре примемся). Они ничего не знали о циркулирующих токах, ответственных за атомный магнетизм и поэтому, в плотности тока утеряли еще одну часть. Вместо уравнения (32.16) они на самом деле писали

,                   (32.17)

где  отличается от , так как последнее учитывает эффекты атомных токов. (При этом  представляет то, что осталось от токов.) Таким образом, у Максвелла было четыре полевых вектора: , ,  и , причем в  и  скрывалось то, на что он не обратил внимания, - процессы, происходящие внутри вещества. Уравнения, написанные в таком виде, вы встретите во многих местах.

Чтобы решить их, необходимо как-то связать  и  с другими полями, поэтому зачастую писали

 и .              (32.18)

Однако эти связи верны лишь приближенно для некоторых веществ, и то лишь когда поля не изменяются слишком быстро со временем. (Для синусоидально изменяющихся полей зачастую можно писать уравнения таким способом, считая при этом  и  комплексными функциями частоты, но для произвольных изменений поля со временем это неверно.) На какие только ухищрения не пускаются ученые, чтобы решить уравнения! А мне кажется, что правильнее всего оставить уравнения записанными через фундаментальные величины, как мы понимаем их теперь, т. е. как раз то, что мы и проделали.