3.4. БАЗИСЫ И — НЕ И ИЛИ — НЕ

Вследствие функциональной полноты функций Шеффера и стрелки Пирса (см табл 2 2) реализующие их вентили или ИЛИ—НЕ могут представлять любую булеву операцию И, ИЛИ, НЕ и таким образом самостоятельно образовать базис, в котором реализуется логическая функция. Это целесообразно с двух точек зрения. Во-первых, при проектировании логических схем можно обойтись одним единственным типом вентиля, что позволяет предельно унифицировать эгот процесс. Во-вторых, для большинства серий ТТЛ- и КМОП-логик вентиль , как и ИЛИ—НЕ, является базисным и предпочтителен во многих отношениях. Вследствие этого реализация логических схем в базисах и ИЛИ—НЕ получила широкое распространение в практике.

Булевы операции И, ИЛИ, НЕ штрих Шеффера соотношениями .

Рис. 3.7.

Отсюда следует, что вентиль , таблица соответствия которого дана на рис. 3.7,а, эквивалентен вентилю НЕ—ИЛИ (см. табл. 3.1) и позволяет - реализовать булевы операции, как показано на рис. . Для реализации инверсии имеются два варианта: либо на все входы вентиля подается переменная . либо на все входы, кроме входа , подается единица. Обычно эти особенности на схемах отсутствуют и используется упрощенное представление с одним входом (рис. ).

Переход к базису осуществляется проще всего для двухуровневых схем И/ИЛИ или при задании функции в форме суммы минтермов, что видно на простом примере (рис. 3.8). Исходная схема в булевом базисе (рис. 3.8,а) преобразуется к такому виду (рис. ), что пары инверторов оказываются соединенными последовательно и выполняют двойную инверсию сигналов. После их удаления схема в вентилями существенно упрощается (рис. 3.8,в) и по своей струитуре полностью совпадает с исходной схемой.

Таким образом, для перевода от двухуровневой схемы И-ИЛИ к схеме в базисе достаточно заменить все вентили вентилями .

В случае произвольных многоступенчатых схем сначала преобразуются по изложенному выше правилу соседние уровни И—ИЛИ, а остальные вентили И и ИЛИ заменяются их эквивалентами в базисе (рис. 3.7). В качестве примера на рис. 3.9,а показана схема, полученная в результате такого преобразования из схемы рис. 3.6,в.

Рис. 3.8.

Рис. 3.9.

Если исходной является не схема, а заданная функция, то в базисе ее можно реализовать в любой форме последовательным применением соотношения, следующего из закона де Моргана: , где А и В — любые выражения. Так, скобочное выражение функции из можно представить последовательностью соотношений , где , где , где . Соответствующая схема показана на рис. .

Как видно из рассмотренных примеров, переход к базису

НЕ не всегда сопровождается минимальной реализацией. , схема, полученная преобразованием из булевого базиса (рис. 3.6,в), содержит девять вентилей вместо семи (рис. ), а непосредственная реализация скобочной формы — только шесть (рис. 3.9,б).

Операция ИЛИ — НЕ, реализующая стрелку Пирса , позволяет выразить булевы функции соотношениями . Отсюда следует, что вентиль ИЛИ—НЕ, таблица соответствия которого дана на рис. 3.10, а, эквивалентен вентилю НЕ—ИЛИ (см. табл. 3.1) и позволяет реализовать булевы операции, как показано на рис. . Вследствие дуальности операций и ИЛИ—НЕ соответствующие реализации вместе с сопровождающими их комментариями можно получить на основе принципа дуальности.

Рис. 3.10.

Рис. 3.11.

Рис. 3.12.

На рис. 3.11, дуальном рис. 3.8, показан переход от двухуровневой схемы ИЛИ/И, которая соответствует конъюнктивной нормальной форме , к реализации в базисе ИЛИ—НЕ. Здесь исходная схема (рис. 3.11,а) преобразуется так, что можно устранить последовательно включенные пары инверторов (рис. ). После этого получаем схему (рис. 3.11,в), которая по своей структуре полностью совпадает с исходной.

На рис. , б показаны две эквивалентные реализации в базисе ИЛИ—НЕ функции, заданной в нормальной и преобразованной формах.