Глава 2. АЛГЕБРА ЛОГИКИ

2.1. ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Вследствие того что сигналы в цифровых системах представляются двоичными кодами, математическое моделирование таких систем основано на использовании двузначной логики (29; 68; 801, в которой переменные могут принимать только одно из двух значений. Эти значения соответствуют двум возможным состояниям реальных объектов (истинное или ложное высказывание, высокое или низкое напряжение, наличие или отсутствие данного признака и т. п.). Они обозначаются цифрами 0 и 1, буквами Л (ложно) и И (истинно) или вообще любыми двумя различающимися символами. В технических приложениях обычно используются цифровые обозначения, которые естественным образом связаны с двоичными кодами.

В общем случае логические переменные могут принимать одно из k значений (-значная логика). Перечень всех k символов, соответствующих области значений, называют алфавитом, а сами символы — буквами этого алфавита. Логические функции могут зависеть от одной, двух и вообще любого числа переменных (аргументов). Областью определения -значной функции от переменных служит множество наборов , являющихся словами длины , где каждый из аргументов замещается буквами -ичного алфавита.

Так как количество всевозможных слов длины в -ичном алфавите равно количеству различных -разрядных чисел с основанием k, т. е. , а каждому такому слову можно сопоставить одно из к значений, то общее количество -значных функций от переменных выражается числом Многозначная логика располагает собственным аппаратом и используется для математического моделирования таких объектов, компоненты которых характеризуются многими состояниями. Между тем двузначная логика наряду с предельной простотой характеризуется и достаточной общностью, так как к ней можно свести и задачи моделирования многозначных структур.

Количество всевозможных двоичных функций выражается числом а область определения таких функций представляет собой всевозможные наборы из двоичных цифр и их общее количество равно . При увеличении количество двоичных функций быстро возрастает (при оно равно 256, а при уже превышает 4 млрд.). Но функции одной и двух переменных еще можно перечислить и подробно исследовать, так как их количество сравнительно невелико (4 при и 16 при .