Глава 9. АНАЛОГО-ЦИФРОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ

9.1. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

Дискретизацией сигнала называется измерительное преобразование непрерывного сигнала в последовательность мгновенных значений этого сигнала , соответствующих определенным моментам времени

где — шаг дискретизации; — значение снгнала в момент — функция Дирака.

Рис. 9.1.

Дискретизацию сигнала по времени можно выполнить равномерно с посюянпым шагем (рис. 9.1, а) и неравномерно с переменным шагом . Однако в дискретизированном сигнале отсутствуют промежуточные значения между моментами дискретизации , поэтому во многих случаях необходимо восстановить в сигнале все промежуточные значения. При этом сигнал на интервале восстанавливается с заданной погрешностью.

В качестве восстанавливающего сигнала используют сумму базисных функций

где — коэффициенты ряда; — система ортогональных базисных функций.

Коэффициенты ряда и базисные функции СДО выбирают на основе критерия минимума средней квадратической погрешности восстановления или критерия совпадения восстанавливаемого сигнала с мгновенными значениями дискретизированного сигнала. Если коэффициенты ряда и базисные функции выбирают по критерию минимума средней квадратической погрешности восстановления

то система базисных функций выбирается ортогональной, а коэффициенты ряда определяют как

При этом для периодических сигналов в качестве базисных функций можно использовать систему тригонометрических функций кратных аргументов , ортогональную на интервале [0, Т).

Если коэффициенты ряда и базисные функции выбирают по критерию совпадения в моменты дискретизации мгновенных Значений восстанавливаемого сигнала и мгновенных значений дискретизированного сигнала, то их параметры определяют путем решения системы уравнений

В случае, если сигнал , обладающий спектром с граничной частотой , дискретизирован циклически с периодом , то его можно восстановить с помощью ряда Котельникова

где — функция отсчета, обладающая следующими свойствами: в моменты достигает максимума, равного 1; в моменты времени при , равного любому целому числу, равна .

Однако реальные сигналы всегда ограничены во времени и имеют бесконечный частотный спектр. Поэтому из-за ограничения верхней части спектра сигнала возникает погрешность восстановления. При этом относительное значение средней квадратической погрешности при восстановлении, возникающей в результате ограничения спектра сигнала частотой , можно определить из следующего неравенства [58]:

где — энергия погрешности сигнала, возникающая из-за ограничения спектра; — полная энергия сигнала; — частотней спектр сигнала.

В качестве базисных функций при восстановлении сигнала часто используют степенной полином , где — полином степени от .

При восстановлении (аппроксимации) сигнала на каждом участке между моментами дискретизации базисная функция изменяется по определенному закону (например, горизонтальной прямой при использовании степенного полинома нулевого порядка, отрезком наклонной прямой — первого порядка и участком параболы — второго порядка). Погрешность восстановления (аппроксимации) зависит от зпкона изменения , способа аппроксимации и шага дискретизации. Шаг дискретизации Т а следовательно, частоту дискретизации определяют по заданной погрешности восстановления (аппроксимации).

В случае использования степенных полиномов нулевого порядка (ступенчатая аппроксимация, рис. ) , тогда восстанавливаемый сигнал

Максимальная погрешность аппроксимации в этом случае будет на участке сигнала, где первая производная достигнет наибольшего значения

Рис. 9.2.

При использовании степенных полиномов первого порядка (кусочно-линейиая аппроксимация, рис. ) восстанавливаемый сигнал имеет вид

Погрешность аппроксимации при этом будет наибольшей на тех участках изменения сигнала, где вторая производная достигает наибольшего значения

При параболической аппроксимации погрешность будет наибольшей на тех участках изменения сигнала, где третья производная имеет максимальное значение

Дискретизация сигнала сопровождается кодированием информации, заключающейся в том, что каждому дискретному значению ставится в соответствие определенная кодовая комбинация, представленная в двоичном или двоично-десятичном кодах. При этом дискретизация сигнала, т. е. преобразование Сигнала в цифровой код реализуется с помощью АЦП и является измерительным процессом, состоящим из ряда операций сравнения измеряемой величины с набором эталонных дискретных величин.

В АЦП аналоговая величина поступает на вход сравнивающего устройства, на второй вход которого в определенной последовательности подаются величины одинаковой природы с измеряемой величиной, вырабатываемые блоком эталонных величин (преобразование вида код — аналог, осуществляемое с помощью ЦАП). Сравнивающее устройство вырабатывает последовательность кодовых комбинаций, являющихся результатом сравнения измеряемой величины с эталонной и используемых для управления цифровым автоматом. При этом состояние цифрового автомата в конце преобразования определяет цифровой код измерительной величины.

Основной особенностью дискретизации сигнала является то, что за счет конечного времени одного преобразования и неопределенности момента его окончания не удается получить однозначное соответствие между значениями отсчетов и Моментами времени, к которым их следует отнести. Таким образом, при дискретизации изменяющихся во времени сигналов возникают динамические погрешности, для оценки которых вводят понятие неопределенности [7]. При равномерной дискретизации возникают амплитудные погрешности, которые называются апертурными, численно равные приращению сигнала в течение апертурного времени, равного шагу дискретизации . Для оценки апертурных погрешностей используют синусоидальный измерительный сигнал , для которого максимальная - относительная апертурная погрешность . Если принять, что для -разрядного АЦП в разрешением апертурная погрешность не должна превышать шага квантования по уровню , то между частотой синусоидального сигнала , апертурным временем (шагом дискретизации ) и относительной апертурной погрешностью существует соотношение [7]