Главная > Основания математики (математическая логика)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Установление непротиворечивости как доказательство невозможности; метод арифметизации.

До сих пор при установлении непротиворечивости систем аксиом в качестве дозволенного средства нам разрешалось использовать только построения определенного рода. К этому методу нас привело рассмотрение индивидных областей с конечным числом индивидов, поскольку мы уяснили себе, что для области такого рода непротиворечивость какой-либо формулы равнозначна ее выполнимости.

В случае бесконечных индивидных областей положение вещей оказывается гораздо более сложным. Правда, здесь все еще остается справедливым утверждение о том, что система аксиом, представленная формулой , противоречива тогда и только тогда, когда общезначима формула Однако, поскольку теперь мы уже больше не имеем дела с обозримым запасом пробегов значений для переменных предикатов, то из необщезначимости нельзя будет заключить, что в нашем распоряжении имеется модель, на которой система аксиом выполняется.

Таким образом, в случае бесконечной индивидной области выполнимость какой-либо системы аксиом является условием, достаточным для ее непротиворечивости, но мы не можем считать его необходимым. Поэтому нельзя рассчитывать, что доказательство непротиворечивости всегда можно будет осуществить при помощи некоторого доказательства выполнимости. С другой стороны. мы вовсе и не обязаны доказывать непротиворечивость путем установления выполнимости; более того, мы можем остановиться на первоначальном, негативном понимании непротиворечивости. Это означает, что если мы снова представим себе систему аксиом записанной в виде формулы то нам нужно будет доказывать не выполнимость формулы , а лишь то, что допущение о выполнении посредством каких-либо определенных предикатов не может привести к логическому противоречию.

Штурм рассматриваемой проблемы с этой стороны мы начнем с обзора логических следствий, которые можно извлечь из заданной системы аксиом. Подходящим для этих целей средством нам представляется метод формализации логического вывода в том виде, как он был развит Фреге, Шрёдером, Пеано и Расселом.

Таким образом, мы пришли к следующему плану работы:

1) строго формализовать принципы логического вывода и подготовить таким образом систему правил вывода, которая была бы полностью обозримой;

2) для заданной системы аксиом (непротиворечивость которой должна быть установлена) показать, что, исходя из нее и пользуясь средствами логического вывода, нельзя будет получить никакого противоречия, т. е. что никогда не смогут оказаться доказуемыми две формулы, одна из которых является отрицанием другой.

Это доказательство нам не нужно будет проводить для каждой системы аксиом в отдельности. Вместо этого мы сможем воспользоваться уже упоминавшимся в начале этой главы методом арифметизации. С нашей нынешней точки зрения его можно охарактеризовать следующим образом. Мы ищем такую систему аксиом которая, с одной стороны, имела бы настолько обозримую структуру, чтобы можно было осуществить доказательство ее непротиворечивости (в смысле п. 2 из намеченного выше плана), а с другой стороны, была бы настолько богатой, чтобы, исходя из ее модели, если предположить, что она имеется в нашем распоряжении в виде некоторой системы объектов и отношений, мы могли построить также и модели для систем аксиом различных геометрических и физических дисциплин, причем таким образом, чтобы объекты какой-либо такой системы были представлены индивидами из или их комплексами, а в качестве основных отношений брались такие предикаты, которые можно образовать из основных отношений системы 3 при помощи логических операций.

Тем самым непротиворечивость рассматриваемой системы фактически оказалась бы установленной: в самом деле, противоречие. если бы оно получилось в качестве следствия из этой системы аксиом, представляло бы собой также противоречие, выведенное из системы аксиом между тем непротиворечивость уже установлена.

Нам представляется, что роль такой системы мог бы сыграть (аксиоматически построенный) анализ.

Этот «метод сведения» аксиоматических теорий к анализу требует, чтобы анализ представлял собой нечто такое, что фактически можно предъявить к рассмотрению в какой-либо

наглядной форме; напротив, от анализа нам не требуется ничего, кроме того, чтобы он был совокупностью идей, непротиворечивость которой мы в состоянии доказать и которая представляет в наше распоряжение такие систематические рамки для упорядочения аксиоматических систем теоретических научных дисциплин, что осуществляемые в них идеализации реальной действительности также оказываются непротиворечивыми.

Теперь коротко подведем итоги наших последних рассуждений. Проблема выполнимости какой-либо системы аксиом (соответственно какой-нибудь логической формулы), которая в случае конечной индивидной области может быть решена в позитивном смысле путем построения соответствующей модели, в том случае, когда для доказательства выполнимости требуется использование бесконечной индивидной области, не может быть разрешена указанным методом, поскольку существование бесконечной индивидной области само по себе не может считаться бесспорным; более того, введение таких бесконечных областей само может быть обосновано лишь посредством доказательства непротиворечивости какой-либо системы аксиом, характеризующей бесконечное.

Ввиду того, что позитивный метод решения в этой ситуации оказывается невозможным, нам остается лишь один путь, путь негативных по своему характеру доказательств непротиворечивости, т. е. путь доказательств невозможности, для чего оказывается необходимой формализация логического вывода.

И раз уж нам пришлось столкнуться с подобного рода задачей, требующей доказательства невозможности, мы должны отчетливо осознать, что само такое доказательство уже не может быть осуществлено с помощью методов экзистенциально-аксиоматического вывода. Более того, мы будем вправе применять лишь такие способы рассуждений, которые не содержат в себе никаких идеализированных экзистенциальных предположений.

На основе этого обсуждения у нас немедленно возникает следующая идея. Если упомянутое доказательство невозможности мы сможем осуществить без экзистенциально-аксиоматических предположений, то может быть тогда мы сможем подобным же образом непосредственно построить и весь анализ в целом, а тем самым сделать упоминавшееся доказательство невозможности вообще излишним? Рассмотрением этого вопроса мы займемся в следующей главе.

1
Оглавление
email@scask.ru