3. Установление непротиворечивости как доказательство невозможности; метод арифметизации.

До сих пор при установлении непротиворечивости систем аксиом в качестве дозволенного средства нам разрешалось использовать только построения определенного рода. К этому методу нас привело рассмотрение индивидных областей с конечным числом индивидов, поскольку мы уяснили себе, что для области такого рода непротиворечивость какой-либо формулы равнозначна ее выполнимости.

В случае бесконечных индивидных областей положение вещей оказывается гораздо более сложным. Правда, здесь все еще остается справедливым утверждение о том, что система аксиом, представленная формулой , противоречива тогда и только тогда, когда общезначима формула Однако, поскольку теперь мы уже больше не имеем дела с обозримым запасом пробегов значений для переменных предикатов, то из необщезначимости нельзя будет заключить, что в нашем распоряжении имеется модель, на которой система аксиом выполняется.

Таким образом, в случае бесконечной индивидной области выполнимость какой-либо системы аксиом является условием, достаточным для ее непротиворечивости, но мы не можем считать его необходимым. Поэтому нельзя рассчитывать, что доказательство непротиворечивости всегда можно будет осуществить при помощи некоторого доказательства выполнимости. С другой стороны. мы вовсе и не обязаны доказывать непротиворечивость путем установления выполнимости; более того, мы можем остановиться на первоначальном, негативном понимании непротиворечивости. Это означает, что если мы снова представим себе систему аксиом записанной в виде формулы то нам нужно будет доказывать не выполнимость формулы , а лишь то, что допущение о выполнении посредством каких-либо определенных предикатов не может привести к логическому противоречию.

Штурм рассматриваемой проблемы с этой стороны мы начнем с обзора логических следствий, которые можно извлечь из заданной системы аксиом. Подходящим для этих целей средством нам представляется метод формализации логического вывода в том виде, как он был развит Фреге, Шрёдером, Пеано и Расселом.

Таким образом, мы пришли к следующему плану работы:

1) строго формализовать принципы логического вывода и подготовить таким образом систему правил вывода, которая была бы полностью обозримой;

2) для заданной системы аксиом (непротиворечивость которой должна быть установлена) показать, что, исходя из нее и пользуясь средствами логического вывода, нельзя будет получить никакого противоречия, т. е. что никогда не смогут оказаться доказуемыми две формулы, одна из которых является отрицанием другой.

Это доказательство нам не нужно будет проводить для каждой системы аксиом в отдельности. Вместо этого мы сможем воспользоваться уже упоминавшимся в начале этой главы методом арифметизации. С нашей нынешней точки зрения его можно охарактеризовать следующим образом. Мы ищем такую систему аксиом которая, с одной стороны, имела бы настолько обозримую структуру, чтобы можно было осуществить доказательство ее непротиворечивости (в смысле п. 2 из намеченного выше плана), а с другой стороны, была бы настолько богатой, чтобы, исходя из ее модели, если предположить, что она имеется в нашем распоряжении в виде некоторой системы объектов и отношений, мы могли построить также и модели для систем аксиом различных геометрических и физических дисциплин, причем таким образом, чтобы объекты какой-либо такой системы были представлены индивидами из или их комплексами, а в качестве основных отношений брались такие предикаты, которые можно образовать из основных отношений системы 3 при помощи логических операций.

Тем самым непротиворечивость рассматриваемой системы фактически оказалась бы установленной: в самом деле, противоречие. если бы оно получилось в качестве следствия из этой системы аксиом, представляло бы собой также противоречие, выведенное из системы аксиом между тем непротиворечивость уже установлена.

Нам представляется, что роль такой системы мог бы сыграть (аксиоматически построенный) анализ.

Этот «метод сведения» аксиоматических теорий к анализу требует, чтобы анализ представлял собой нечто такое, что фактически можно предъявить к рассмотрению в какой-либо

наглядной форме; напротив, от анализа нам не требуется ничего, кроме того, чтобы он был совокупностью идей, непротиворечивость которой мы в состоянии доказать и которая представляет в наше распоряжение такие систематические рамки для упорядочения аксиоматических систем теоретических научных дисциплин, что осуществляемые в них идеализации реальной действительности также оказываются непротиворечивыми.

Теперь коротко подведем итоги наших последних рассуждений. Проблема выполнимости какой-либо системы аксиом (соответственно какой-нибудь логической формулы), которая в случае конечной индивидной области может быть решена в позитивном смысле путем построения соответствующей модели, в том случае, когда для доказательства выполнимости требуется использование бесконечной индивидной области, не может быть разрешена указанным методом, поскольку существование бесконечной индивидной области само по себе не может считаться бесспорным; более того, введение таких бесконечных областей само может быть обосновано лишь посредством доказательства непротиворечивости какой-либо системы аксиом, характеризующей бесконечное.

Ввиду того, что позитивный метод решения в этой ситуации оказывается невозможным, нам остается лишь один путь, путь негативных по своему характеру доказательств непротиворечивости, т. е. путь доказательств невозможности, для чего оказывается необходимой формализация логического вывода.

И раз уж нам пришлось столкнуться с подобного рода задачей, требующей доказательства невозможности, мы должны отчетливо осознать, что само такое доказательство уже не может быть осуществлено с помощью методов экзистенциально-аксиоматического вывода. Более того, мы будем вправе применять лишь такие способы рассуждений, которые не содержат в себе никаких идеализированных экзистенциальных предположений.

На основе этого обсуждения у нас немедленно возникает следующая идея. Если упомянутое доказательство невозможности мы сможем осуществить без экзистенциально-аксиоматических предположений, то может быть тогда мы сможем подобным же образом непосредственно построить и весь анализ в целом, а тем самым сделать упоминавшееся доказательство невозможности вообще излишним? Рассмотрением этого вопроса мы займемся в следующей главе.