3. Принцип выбора.

Но и этого допущения, что совокупность всех действительных чисел, соответственно всех двоичных дробей, представляет собой индивидную область, тоже оказывается еще недостаточно. Это обнаруживается в следующей простой ситуации. Пусть а — верхняя грань некоторого множества действительных чисел. Мы хотим показать, что имеется последовательность

действительных чисел, принадлежащих этому множеству, сходящаяся к а. Для этого мы рассуждаем следующим образом:

Из определения верхней грани следует, что для каждого целого числа в этом множестве имеется такое число для которога

и, значит,

Тем самым числа образуют сходящуюся к а последовательность и все они принадлежат рассматриваемому множеству.

Приводя такую аргументацию, мы скрываем за словами один принципиальный момент доказательства. В самом деле, применяя обозначение мы представляем себе, что для каждого числа среди действительных чисел с. принадлежащих рассматриваемому множеству и удовлетворяющих неравенству

выделено одно определенное.

В таком представлении кроется определенное предположение. На самом деле непосредственно мы можем лишь заключить, что для каждого числа имеется подмножество рассматриваемою нами множества, состоящее из чисел, удовлетворяющих приведенному выше неравенству, и что для любого это подмножество содержит по крайней мере один элемент. Предполагается, что в каждом этих множеств

мы можем отметить по одному элементу в так что при этом получится некоторая вполне определенная бесконечная последовательность действительных чисел.

Перед нами частный случай принципа выбора. В общем виде он утверждает, что «если для всякого объекта х вида (Gattung) G существует по меньшей мере один объект у вида связанный с х отношением то существует функция которая всякому объекту х вида однозначно сопоставляет такой объект вида который связан с х отношением

В рассматриваемом случае вид есть вид положительных целых чисел, есть вид действительных чисел, отношение представляет собой неравенство

а функция существование которой извлекается из аксиомы выбора, представляет собой сопоставление действительного числа его номеру х.

Применение принципа выбора, который в качестве особого допущения впервые был отмечен и сформулирован в его теоретико-множественной редакции Эрнстом Цермело, представляет собой еще один тип выхода за рамки финитной точки зрения, превосходящий по своей силе даже применение закона «tertiuni non datur». Рассмотрение приведенных выше примеров показывает нам, что построение исчисления бесконечно малых в том виде, как это делается после разработки строгих методов, производится не в смысле сведения к финитному арифметическому мышлению. Произведенная здесь арифметизация учения о величинах никоим образом не может считаться совершенной, поскольку с нею вводятся определенного рода систематические фундаментальные представления, которые не относятся к области наглядного арифметического мышления. Строгое построение анализа привело нас только к пониманию того, что этих немногих фундаментальных допущений уже вполне достаточно для построения теории величин как теории числовых множеств.

Методы анализа господствуют в таких крупных разделах математики, как теория функций, дифференциальная геометрия, топология (Analysis situs). Наиболее далеко идущее использование нефинитных гипотез происходит в общей теории множеств, которая в этом отношении далеко превосходит даже анализ, а методы теории множеств в свою очередь вторгаются в современную абстрактную алгебру и в топологию.

Таким образом, анализ в его обычном изложении совершенно не согласуется с финитной точкой зрения; напротив, он самым существенным образом опирается на дополнительные логические принципы. Поэтому, если мы хотим сохранить анализ в его нынешнем виде, а с другое стороны, признаём претензии финитной точки зрения, учитывающей соображения очевидности, то мы оказываемся перед необходимостью обосновать — посредством установления их непротиворечивости — те принципы, применение которых выводит нас за пределы финитной точки зрения. Если нам удастся доказать непротиворечивость способов умозаключении, обычно применяемых в анализе, то мы сможем приобрести уверенность в том, что результаты этих умозаключений никогда нельзя будет опровергнуть при помощи финитно установленного факта или финитным рассуждением. Действительно, финитные методы являются составной частью традиционного анализа, и потому финитное опровержение какого-либо предложения, доказанного традиционными средствами анализа, должно было бы означать наличие противоречия внутри самого традиционного анализа.