ГЛАВА I. ПРОБЛЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В АКСИОМАТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ КАК ЛОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ

§ 1. Формальная аксиоматика

1. Отношение формальной аксиоматики к содержательной; вопрос о непротиворечивости; арифметизация.

Уровень научных исследований в области оснований математики, из которого исходит наше изложение, характеризуется результатами, полученными в ходе работы, проводившейся по следующим трем направлениям:

1) совершенствование аксиоматического метода — прежде всего, на базе оснований геометрии;

2) построение анализа по принятой ныне строгой методике, путем сведения теории величин к теории, объектом рассмотрения которой являются числа и числовые множества;

3) исследования, направленные на обоснование понятий числа множества.

Точка зрения, сформировавшаяся в результате этих исследований, в сочетании с повышенными требованиями методического характера ведет к определенной программе дальнейшей работы — программе, в рамках которой речь идет о новой трактовке проблемы бесконечного. Знакомство с этой программой мы хотели бы начать с рассмотрения аксиоматического метода.

Термин «аксиоматический» употребляется иногда в более широком, а иногда и в более узком смысле слова. При самом широком понимании этого термина построение какой-либо теории мы называем аксиоматическим, если основные понятия и основные гипотезы этой теории ставятся как таковые во главу угла, а дальнейшее ее содержание логически выводится из них с помощью определений и доказательств. Аксиоматически именно в этом смысле слова были построены геометрия Евклида, механика Ньютона, термодинамика Клаузиуса.

Усиление, которое аксиоматическая точка зрения получила в «Основаниях геометрии» Гильберта, заключается в том, что из всего материала реальных представлений, используемого для формирования основных понятий данной теории. при

аксиоматпческом ее построении мы принимаем в расчет лишь то, что в виде некоторого экстракта формулируется в ее аксиомах, а от всего остального содержания абстрагируемся. Когда аксиоматика начинает пониматься в таком наиболее узком смысле этого слова, в качестве очередного обстоятельства добавляется еще экзистенциалъностъ ее вида. Этим аксиоматический способ построения какой-либо теории и отличается от конструктивного, или генетического способа. В то время как при конструктивном способе построения объекты рассматриваемой теории вводятся только как вещи определенного вида, в аксиоматической теории нам приходится иметь дело с некоторой фиксированной системой вещей (или даже с несколькими такими системами), вводимой в качестве области субъектов для всех тех предикатов, из которых строятся высказывания этой теории.

В предположении, что эта «индивидная область» представляет собой некую единую совокупность, заключается — если отвлечься от рассмотрения тех тривиальных случаев, когда теория имеет дело лишь с конечной, четко выделенной совокупностью вещей — определенная идеализация. Эта идеализация присоединяется к допущениям данной теории, которые формулируются в ее аксиомах.

Аксиоматику в такой усиленной форме, возникающую в результате отвлечения от конкретного предметного содержания и сформулированную в экзистенциальном виде, мы кратко будем называть формальной аксиоматикой. Характерной особенностью формальной аксиоматики — в отличие от содержательной — является необходимость установления ее непротиворечивости. Между тем содержательная аксиоматика вводит свои основные понятия со ссылкой на имеющийся у нас опыт, а свои основные положения либо считает очевидными фактами, в которых можно непосредственно убедиться, либо формулирует их как итог определенного опыта и тем самым выражает нашу уверенность в том, что нам удалось напасть на след законов природы, а заодно и наше намерение подкрепить эту уверенность успехом развиваемой теории.

Формальная аксиоматика, разумеется, также нуждается в признании очевидности за вещами определенного рода — это необходимо как для осуществления дедукции, так и для установления непротиворечивости самой аксиоматики — однако с тем существенным различием, что этот род очевидности не основывается на каком-либо особом гносеологическом отношении к рассматриваемой конкретной области науки, а остается одним и тем же

в случае любой аксиоматики: мы имеем здесь в виду столь элементарный способ познания, что он вообще является предварительным условием любого точного теоретического исследования. Этот род очевидности мы еще должны будем подвергнуть более пристальному рассмотрению.

Чтобы правильно оценить соотношение между познавательным значением содержательной и формальной аксиоматик, необходимо в первую очередь принять во внимание следующие соображения.

Формальная аксиоматика по необходимости нуждается в содержательной как в своем дополнении, поскольку именно эта последняя поначалу руководит нами в процессе выбора соответствующих формализмов, а затем, когда формальная теория уже имеется в нашем распоряжении, она подсказывает нам, как эта теория должна быть применена к рассматриваемой области действительности.

С другой стороны, мы не можем ограничиться содержательной аксиоматикой по той простой причине, что в науке — если не всегда, то все же по преимуществу — мы имеем дело с такими теориями, которые отнюдь не полностью воспроизводят действительное положение вещей, а являются лишь упрощающей идеализацией этого положения, в чем и состоит их значение. Такого рода теория, конечно, не может быть обоснована путем ссылки на очевидность ее аксиом или на опыт. Более того, ее обоснование и может быть осуществлено только в том смысле, что будет установлена непротиворечивость произведенной в ней идеализации, т. е. той экстраполяции, в результате которой введенные в этой теории понятия и ее основные положения переступают границы наглядно очевидного или данных опыта. Придти к выводу о непротиворечивости этой теории нам не поможет и ссылка на приблизительную значимость ее основных положений. В самом деле, противоречие может наступать как раз в результате того, что мы считаем вполне определенным какое-нибудь отношение, которое имеет место только в некотором ограниченном смысле.

Таким образом, мы оказываемся вынужденными исследовать непротиворечивость теоретических систем в отрыве от рассмотрения фактических обстоятельств и уже тем самым мы становимся на точку зрения формальной аксиоматики.

Рассмотрение этой проблемы как в рамках геометрии, так и в рамках различных физических дисциплин до сих пор производилось с помощью метода арифметизации. Этот метод заключается в том, что основные объекты теории мы изображаем посредством чисел и числовых систем, а основные отношения между ними — посредством равенств и неравенств, причем таким образом, что в силу рассматриваемого перевода аксиомы теории переходят либо в числовые тождества и доказуемые предложения,

как это имеет место в в случае геометрии, либо, как в случае физики, - в систему условий, совместная выполнимость которых может быть установлена на основе тех или иных теорем существования области анализ. При этом способе решения рассматриваемой проблемы мы должны предполагать, что анализ, т. е. теория действительных чисел, является в определенном смысле пригодным и таким образом мы упираемся в вопрос о том, каков характер этой пригодности

Однако, прежде чем заняться этим вопросом, давайте посмотрим не существует ли какого-нибудь прямого способа атаковать проблему непротиворечивости. Кроме того, нам вообще хотелось бы поотчетливее рассмотреть структуру этой проблемы. Заодно, пользуясь представившейся возможностью, мы немного познакомимся с логической символикой, которая оказывается весьма полезной для наших Целей и которую в дальнейшем нам еще придется рассмотреть более подробно.