3. Чисто логический подход к аксиоматике.

Однако такое изложение все еще соответствует уровню содержательной аксиоматики, в рамках которой основные отношения теории рассматриваются как нечто обнаруживаемое в опыте или в наглядных

представлениях (и тем самым содержательно определенное) и являющееся объектом утверждений, делаемых в теоремах нашей теории.

В формальной аксиоматике, напротив, основные отношения не считаются чем-то заранее содержательно определенным. Более того, именно в аксиомах теории они и находят свое неявное определение, так что во всех рассуждениях, проводимых в какой-либо аксиоматической теории, мы можем использовать лишь те сведения, касающиеся основных отношений теории, которые недвусмысленно сформулированы в ее аксиомах.

И если в рамках аксиоматической геометрии для обозначения ее основных отношений мы пользуемся именами, соответствующими геометрии наглядной, — такими, как «лежать на» и «между», — то это является всего лишь уступкой привычке и делается нами для того, чтобы облегчить привязку аксиоматической теории к фактам восприятия. На самом же деле основные отношения в формальной аксиоматике играют роль переменных предикатов.

При этом здесь и в дальнейшем термин предикат мы всегда будем понимать в расширенном смысле, допуская к рассмотрению предикаты с двумя или несколькими субъектами. В зависимости от числа субъектов мы будем говорить об одноместных, двуместны предикатах.

В рассмотренном нами фрагменте аксиоматической геометрии речь идет о двух переменных трехместных предикатах

Система аксиом накладывает на эти два предиката условие, выражаемое логической формулой которая получается из путем замены посредством посредством . В этой формуле наряду с переменными предикатами встречается также содержательно понимаемое нами отношение равенства То, что мы соглашаемся с его содержательной определенностью, не является прегрешением против точки зрения нашего подхода. Ведь содержательное определение равенства, вовсе и не являющегося отношением в собственном смысле этого слова, не заимствовано намп из специфического круга представлений, касающихся той области знания, которая подлежит аксиоматическому исследованию. Оно относится исключительно к возможности различения индивидов, которая должна всегда предполагаться имеющейся уже в самый момент введения индивидной области.

Таким образом, всякому предложению, имеющему вид соответствует логическая по своему содержанию констатация того факта, что произвольные предикаты удовлетворяющие условию находятся также и в отношении и что, следовательно, для любых

двух предикатов формула

представляет собой истинное высказывание. Так, предложение геометрии трансформировалось в предложение чистой логики предикатов.

С этой точки зрения вопрос о непротиворечивости рассматриваемой системы аксиом также можно совершенно аналогичным образом представить в виде некоторой проблемы чистой логики предикатов. Именно, речь идет о том, могут ли два трехместных предиката удовлетворять условиям, налагаемым на них формулой или же, напротив, предположение о том, что формула выполняется для пары каких-либо конкретных предикатов ведет к противоречию, так что для всякой такой пары предикатов формула будет представлять собой истинное высказывание.