2. Пример: аксиомы геометрии.

В качестве примера аксиоматики возьмем геометрию плоскости. Простоты ради мы рассмотрим лишь аксиомы геометрии положения (которые в гильбертовых «Основаниях геометрии» приводятся под названием аксиом соединения и аксиом порядка) и аксиому о параллельных. При этом для наших целей будет удобно несколько отступить от гильбертовской системы аксиом: мы будем исходить не из точек и прямых как объектов, образующих две различные системы, а возьмем в качестве индивидов одни только точки. Вместо отношения «точки и у определяют прямую нас появится трехместное отношение точки лежат на одной прямой», для которого мы буцем применять обозначение . Наряду с этим отношением в качестве второго основного отношения мы возьмем отношение порядка: лежит между которое мы будем обогнать посредством Далее, в наших аксиомах в качестве относящегося к логике понятия будет встречаться отношение равенства Для обозначения этого отношения мы будем употреблять обычный знак равенства:

Для символической записи аксиом нам потребуются также логические знаки и, прежде всего, знаки для выражения всеобщности и существований; если есть предикат, относящийся к индивиду х, то будет означать «все х обладают свойском , а -«существует х, обладающее свойством . Знак называется «квантором всеобщности», а «квантором существования». Кванторы всеобщности и

существования равным образом могут относиться как к переменной х, так и к каким-нибудь другим переменным Принадлежащая такому квантору переменная «связывается» этим квантором — подобно тому, как переменная интегрирования связывается знаком интеграла, — так что все высказывание в целом уже не зависит от какого-либо значения этой переменной.

В качестве очередных логических знаков мы добавим знак для отрицания и знаки для комбинирования высказываний. Для отрицания какого-либо высказывания мы будем использовать знак стоящий перед этим высказыванием. Вместо 1 (х = у) мы для краткости будем писать Знак & («и»), стоящий между двумя высказываниями, будет означать, что истинны оба эти высказывания (конъюнкция). Знак («или» в значении «vel»), стоящий между двумя высказываниями, будет означать, что истинно по меньшей мере одно из этих высказываний (дизъюнкция).

Знак , стоящий между двумя высказываниями, будет означать, что истинность первого из них влечет за собой истинность второго, или, другими словами, что первое из этих высказываний не может быть истинным без того, чтобы не было истинным и второе (импликация). Согласно сказанному, импликация двух высказываний 21 и 95 является ложной лишь тогда, когда 21 истинно, ложно; в остальных случаях она является истинной.

Знак импликации в сочетании с квантором всеобщности изображает общеутвердительные гипотетические предложения. Так, например, формула

где и некоторые отношения между х и у, изображает следующее предложение: «для всякой пары индивидов такой, что истинно истинно также и

При построении формул из их составных частей мы будем пользоваться обычным приемом расстановки скобок. В целях их экономии мы условимся, что знак разделяет сильнее, чем знаки что разделяет сильнее, чем и что знаки и V разделяют сильнее, чем кванторы всеобщности и существования. Мы условимся также опускать скобки всюду, где это не будет вызывать недоразумений. Так, например, вместо выражения

где обозначает какое-либо отношение между х и у, мы будем писать просто так как это выражение может быть прочитано лишь единственным образом: «для каждого х существует у, для которого справедливо отношение

Теперь мы уже в состоянии записать рассматриваемую систему аксиом с помощью формул. Для простоты чтения мы на первых порах будем сопровождать аксиомы их вариантами, записанными с помощью естественного языка.

Разбиение приводимых ниже аксиом на группы не вполне соответствует разбиению, принятому в гильбертовых «Основаниях геометрии». Поэтому каждую группу аксиом мы снабдим комментарием об отношении аксиом, выраженных здесь с помощью формул, к аксиомам, приводимым Гильбертом.

I. Аксиомы соединения (принадлежности):

( всегда лежат на одной прямой).

(если точки х, у, z лежат на одной прямой, то точки у, х, z и точки также лежат на одной прямой).

(если х и у — различные точки и если точки х, у, z и точки х, у, и лежат на одной прямой, то х, z, и также лежат на одной прямой).

(существуют точки х, у, z, не лежащие на одной прямой).

Аксиомы 1) и 2) заменяют — с учетом ликвидации понятия прямой — аксиому I 1); аксиома 3) соответствует аксиоме второй части аксиомы I 3).

II. Аксиомы порядка

(если различные точки, то всегда существует точка такая, что лежит между у и z).

Аксиомы 1) и 2), рассматриваемые совместно, составляют первую часть гильбертовской аксиомы II 1); 3) представляет собой объединение последней части гильбертовской аксиомы II 1) с аксиомой II 3); 4) представляет собой аксиому аксиому плоского порядка II 4).

III. Аксиома о параллельных. Так как аксиомы конгруэнтности в нашем списке аксиом не фигурируют, то аксиому о параллельных мы должны будем здесь привести в следующей расширенной формулировке: для всякой прямой и точки, лежащей вне ее, существует одна и только одна прямая, проходящая через эту точку и не пересекающая исходную прямую.

В целях упрощения символической формулировки этой аксиомы мы введем сокращение: символ

будет обозначать выражение

(не существует точки которая лежала бы на одной прямой с точками х и у, а также с точками ).

Тогда наша аксиома запишется в виде

Если мы теперь вообразим, что все перечисленные выше аксиомы выписаны в ряд и соединены друг с другом знаком то у нас получится одна-единственная логическая формула, которая представляет собой некоторое высказывание о предикатах Мы обозначим эту формулу посредством

Аналогичным же образом мы можем представить в виде подходящей формулы

всякое другое предложение плоской геометрии, допускающее формулировку в терминах одних только отношений положения и порядка.