§ 2. Применение теории истинностных функций к логическому выводу; формализация умозаключений в логике высказываний с помощью тождественно истинных выражений, правила подстановки и схемы заключения

Пусть

— какие-либо определенные предложения (например, математические утверждения), относительно которых мы будем предполагать, что каждое из них объективно однозначным образом является истинным или ложным, однако для каждого из этих предложений в отдельности может быть и неизвестно, какой именно из этих случаев имеет место. Между этими предложениями могут иметься определенные зависимости; пусть, например, оказалось, что когда оба являются истинными, истинным должно быть также и Тогда по определению импликации отсюда получается, что выражение

обязательно примет значение «истина».

Наоборот, если мы знаем, что выражение

при заданных истинностных значениях предложений принимает значение «истина», то отсюда можно заключить, что если истинны то предложение также будет истинным.

Точно так же получается, что если истинность и одновременная с этим ложность исключают истинность то выражение

при указанных истинностных значениях выражений будет иметь значение «истина»; и обратно: если это выражение имеет значение «истина» при заданных истинностных значениях предложений то в случае истинности и ложности выражение непременно окажется ложным.

Таким образом, всякая зависимость между истинностью и ложностью каких-либо определенных предложений

представляется посредством истинности некоторой импликации.

Теперь в рамках логики высказываний ставится следующий вопрос. Допустим, что между предложениями (соответственно их отрицаниями) имеются некоторые зависимости; допустим также, что про некоторые из этих предложений известно, что они являются истинными (соответственно ложными). Требуется выяснить, вытекает ли из этих допущений чисто логически, т. е. без учета структуры предложений истинность или ложность какого-либо определенного предложения или какая-нибудь новая зависимость между предложениями.

Каждому из сделанных допущений соответствует некоторое выражение, построенное из с помощью знаков и принимающее ввиду сделанного предположения значение «истина» всякий раз, когда мы вместо подставим принимаемые ими значения «истина» или «ложь». Таким образом наши допущения будут представлены некоторыми выражениями

Чтобы мы имели возможность сделать отсюда вывод об истинности некоторого соотношения прежде всего должно оказаться, что при подстановке вместо принимаемых ими значений «истина» или «ложь» импликация

принимает значение «истина».

Но вывод об истинности должен оказаться справедливым без учета структуры предложений

Поэтому написанная выше импликация должна принимать значение «истина» и в том случае, если мы вместо предложений подставим какие-нибудь другие предложения, удовлетворяющие лишь тому условию, что их истинность или ложность определяется однозначно. Это значит, что импликация

получающаяся из написанной выше путем замены предложений переменными должна быть тождественно истинной.

С другой стороны, если это условие выполнено, то отсюда немедленно следует, что если допущения, представленные выражениями

являются истинными, то истинным является и предложение таким образом, при этих предположениях можно будет сделать вывод об истинности Значит, вопрос о том, можно ли на основании допущений сделать логический вывод об истинности сводится к тому, чтобы выяснить, является ли тождественно истинной формула

а для этого мы располагаем простым методом проверки.

Отсюда становится понятным значение, которое тождественно истинные выражения имеют для процесса вывода в области логики высказываний: они доставляют в наше распоряжение схемы умозаключений, и благодаря им принципы логического вывода оказываются представленными в впде определенных формул. Кроме того, наличие кругозора в части тождественно истинных выражений позволяет нам экономно строить те или иные логические умозаключения, относящиеся к области логики высказываний.

Теперь для формализации процесса вывода нам осталось лишь условиться, что в случае тождественной истинности выражения

мы будем говорить, что из посылок

по схеме

может быть получено следствие Заданная этим соглашением процедура формально может быть разложена на еще более простые. Прежде всего, выражение

мы можем заменить некоторым другим. Ранее мы установили, что заменимо посредством Отсюда далее получается, что

а потому и посредством

Аналогичным образом мы убеждаемся, что выражение

заменило посредством

Отеюда, согласно правилу получается, что выражение

заменимо посредством

и, следовательно, это выражение является тождественно истинным, поскольку таковым является предыдущее. Теперь для того, чтобы, исходя из этой формулы, при помощи посылок

придти к заключению нам требуется, во-первых, правило, которое позволяло бы производить подстановку предложений вместо переменных чтобы получить формулу

и, во-вторых, правило, в соответствии с которым мы могли бы друг за другом отбрасывать левые части импликаций, поскольку они совпадают с нашими посылками.

Поэтому формализация умозаключений рассмотренного типа может быть осуществлена в виде некоторой последовательности формул, относительно которой мы уславливаемся о нижеследующем:

В качестве исходной формулы может быть взято любое тождественно истинное выражение, а также любая посылка, записанная с помощью логической символики.

Вслед за данной формулой может быть написана любая другая, получающаяся из нее подстановкой вместо одной или нескольких переменных некоторого (записанного в символической форме) предложения (правило подстановки). Кроме того, может быть повторена формула, полученная ранее.

Вслед за двумя формулами в качестве формулы может быть написано т. е. может быть применена схема заключения

Оба элементарных акта формального вывода — подстановка и схема заключения — которые вводятся здесь нами впервые, представляют собой формальные аналоги простейших содержательных умозаключений — заключения от общего к частному (dictum de omni) и заключения от причины к следствию (modus ponens гипотетического заключения).

В рамках теории истинностных функций этим двум способам умозаключения соответствуют два правила, которые, как и ранее упоминавшиеся правила замены, констатируют некоторые элементарные по своему характеру математические факты. Эти правила гласят:

1. Если в какое-либо тождественно истинное выражение вместо одной или нескольких входящих в него переменных — всюду, где они встречаются, — подставить произвольные (построенные из переменных с помощью знаков и выражения, то полученное выражение снова будет тождественно истинным.

2. Если тождественно истинные выражения, то также является таковым.

Первое правило усматривается из тех соображений, что подстановка не увеличивает совокупности значений какого-либо выражения. Второе правило получается из того, что при тождественно истинном импликация всегда принимает то же самое значение, что и