§ 2. Связанные переменные и правила для кванторов всеобщности и существования

1. Недостаточность свободных переменных.

Введение индивидных переменных и связанное с ним обобщение правил подстановки представляют собой лишь начало формализации логики предикатов. Для полной формализации нам потребуются, кроме того, специальные символы и правила, с помощью которых можно будет изобразить логические формы всеобщего и частного суждений, а также основанные на этих формах способы умозаключений.

Правда, для всеобщих суждений одно такое представление мы уже имеем. В самом деле, формула, зависящая от одной или нескольких индивидных переменных, соответствует некоторому всеобщему предложению, которое выражет ту мысль, что рассматриваемый нами предикат является истинным для каждого предмета (или для каждой пары, тройки, предметов) из области значений рассматриваемых переменных.

Однако это представление оказывается недостаточным; действительно, выражение

соответствует, в духе содержательного истолкования, всеобщему суждению лишь тогда, когда оно фигурирует в качестве отдельной формулы, и дело обстоит совсем иначе, если оно выступает как составная часть какой-либо другой формулы. Так, например, формуле

соответствует вовсе не отрицание всеобщего суждения, представленного формулой

а утверждение о том, что отрицание имеет место для всякого предмета из области значений переменной а.

Действительно, с помощью подстановки мы можем из

получить

для любого значения а переменной а. Эту мысль можно пояснить еще и следующим образом. Суждение, соответствующее формуле вследствие наличия в нем переменной а должно быть всеобщим суждением и вследствие наличия отрицания оно должно быть общеотрицательным. Однако отрицание общеутвердительного суждения представляет собой не общеотрицательное суждение, а частноотрицательное.

Таким образом, мы пока еще не в состоянии выразить в нашем формализме отрицание всеобщего суждения.

Более того, у нас пока нет никакого способа выразить даже общеутвердительное суждение, стоящее в посылке гипотетического предложения.

Так, например, суждение

«если справедливо для всех значений переменной а, то имеет место и мы не можем формально выразить посредством импликации

В самом деле, из этой импликации мы могли бы для любого значения а переменной а получить формулу

так что уже из произвольной формулы

формула получалась бы по схеме заключения. Это показывает, что формула

соответствует вовсе не высказыванию о том, что 93 имеет место в случае истинности для всех значений а. Напротив, она соответствует высказыванию о том, что 93 имеет место в случае истинности для какого-нибудь произвольного значения переменной а.

Таким образом, наши нынешние формальные выразительные средства не дают возможности ни образовывать отрицания всеобщих суждений, ни вводить суждения этого типа в посылки импликаций.

С другой стороны, рассмотренный материал показывает, что представление частноутвердительного (экзистенциального) суждения в рамках имеющегося на данный момент формализма

возможно и в тех сочетаниях, в которых всеобщее суждение оказывается непредставимым. Действительно, отрицание частно утвердительного суждения «для некоторых значений а имеет место или, в более точной экзистенциальной формулировке, «существует значение переменной а, для которого имеет место равнозначно общеотрицательному суждению, соответствующему формуле а суждению с экзистенциальной посылкой «если существует значение а, для которого имеет место или, короче, имеет место для некоторого значения а» соответствует формула

Тем не менее для экзистенциального суждения как такового мы пока никакой формализации не имеем.