2. Введение связанных переменных; кванторы всеобщности и существования; правило переименования переменных; предотвращение неоднозначностей; обобщение понятия формулы и правила подстановки.

Все сказанное приводит нас к необходимости ввести специальные символы для всеобщности и существования. В этом вопросе мы будем придерживаться (с незначительными отклонениями) символики, принятой в Principia Mathematica (уже в гл. I для изображения всеобщих и частных суждений мы пользовались знаками

Относительно этой символики следует заметить, что и квантор всеобщности, и квантор существования всегда относятся к вполне определенному выражению, которому они предшествуют:

Переменная, фигурирующая в таком кванторе и в прилегающем к нему выражении, аналогична переменной интегрирования или же индексу суммирования. Выражение

от переменной х не зависит; эта переменная служит всего лишь для указания тех вхождений субъектов, к которым относится это «для все или «существует».

Переменные, фигурирующие в кванторах всеобщности и существования, мы будем называть связанными индивидными переменными. Они будут в корне отличаться от тех переменных, которые мы употребляли до сих пор и которые, в отличие от связанных, мы будем называть свободными переменными.

Чтобы различие между свободными и связанными переменными можно было проводить по их внешнему виду, мы для свободных индивидных переменных будем использовать буквы из начала и середины алфавита

а для связанных переменных — последние буквы алфавита

Правило подстановки мы будем применять только по отношению к свободным переменным. Кроме того, мы запретим подставлять связанные переменные вместо свободных.

Теперь мы должны сформулировать правила, по которым мы будем обращаться со связанными переменными. Сначала в духе общего расширения нашей символики мы распространим имеющееся у нас понятие формулы. Это будет сделано таким образом, что к операциям, с помощью которых из элементарных формул строятся дальнейшие формулы — до сих пор в качестве таковых мы допускали лишь построения, использующие логические знаки исчисления высказываний, — мы дополнительно присоединим операции перехода от формулы

к формулам

так что если есть формула, то

мы также будем считать формулами. Вместо х здесь может фигурировать и какая-нибудь другая связанная переменная, например у. Заметим, что в соответствии с принятой процедурой перед выражением с несколькими свободными переменными можно в любом порядке поставить несколько следующих друг за другом кванторов всеобщности и существования. Так, например, исходя из формулы

мы можем по очереди строить следующие формулы:

От этого многообразия комбинаций кванторов всеобщности и существования в первую очередь и зависит известная усложненность структуры исчисления предикатов. Эта усложненность, правда, начинает проявляться в полной мере лишь тогда, когда в рассмотрение вовлекаются предикаты с несколькими субъектами.

Следует также отметить еще одно ограничение, которое должно соблюдаться в процессе расстановки кванторов всеобщности и существования: строя из выражение или мы получаем формулу лишь в том случае, когда связанная переменная х в формуле еще не фигурирует.

Необходимость этого ограничения легко будет понять, если учесть аналогию, имеющуюся между связанными переменными и индексами суммирования. Пусть, например, нам дано арифметическое выражение вида

где индекс суммирования, свободная переменная. Если бы мы теперь захотели сумму

снова записать с помощью знака суммирования, то для внешней суммы мы уже не смогли бы использовать переменную в качестве индекса суммирования, так как иначе запись

допускала бы различные прочтения. Так, например,

с одной стороны, можно было бы толковать как

но с равным успехом эту запись можно было бы истолковать и как

Совершенно аналогичные двусмысленности возникли бы и в том случае, если бы мы в логической символике допустили выражения вроде

или

Поэтому мы должны условиться, что выражение

мы будем считать формулой лишь тогда, когда в самой формуле из которой это выражение получается навешиванием квантора всеобщности или соответственно существования, связанная переменная х не встречалась. Вместо всего этого можно было бы кратко сказать, что при построении формул не следует допускать «коллизий между связанными переменными».

Расширение понятия формулы автоматически приводит нас к некоторому расширению правила подстановки в том смысле, что мы теперь к числу тех формул, которые можно будет подставлять вместо формульных переменных, добавим и формулы, построенные с помощью кванторов всеобщности и существования, включив их тем самым в сферу действия исчисления высказываний.

Кроме того, правило подстановки вместо формульных переменных с аргументами мы теперь распространим и на тот случай, когда в рассматриваемой формуле на месте аргументов какой-либо формульной переменной (всех или некоторых из них) стоят связанные переменные.

Так, например, если вместо именной формы мы будем производить подстановку формулы то из формул

получится формула

Однако эта подстановка будет допустимой лишь тогда, когда оказывается формулой, т. е. если х не фигурирует в

Вообще, ограничение на подстановку, возникающее вследствие появления связанных переменных, исходит из требования о том, что в результате подстановки формула всегда должна переходить в формулу, т. е. из требования избегать коллизий между связанными переменными. Так, например, в формуле вида

вместо переменной В нельзя подставить формулу так как возникающее в результате такой подстановки выражение формулой уже не является.

Неудобства, возникающие вследствие этого ограничения, могут быть устранены с помощью специального правила переименования связанных переменных, которое мы все юавно должны будем

ввести ввиду отсутствия правила подстановки вместо связанных переменных. Это правило формулируется следующим образом: В любом выражении вида

получающемся в результате навешивания квантора всеобщности или существования, связанную переменную, относящуюся к этому квантору, можно заменить — независимо от того, является ли это выражение самостоятельной формулой или же только составной частью какой-либо другой формулы, — какой-нибудь другой связанной переменной, если эта последняя ранее не встречалась в

В качестве примера на применение этого правила переименования мы рассмотрим переход от формулы

к формуле

Прежде всего, заменим переменную х какой-нибудь не встречающейся в связанной переменной, например переменной . При этом получится

Теперь в

заменим переменную у посредством х. Эта замена переведет формулу

в формулу

а теперь здесь можно заменить посредством у, в результате чего получится искомая формула