Главная > Основания математики (математическая логика)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. Обобщение понятия t-тождественной формулы; дедуктивная замкнутость совокупности t-тождественных формул; однозначность равенства.

Теперь, после того как в результате проведенных нами формальных рассмотрений мы познакомились с методикой использования аксиом мы снова вернемся к вопросу о непротиворечивости. Нам нужно показать, что в результате добавления к исчислению предикатов знака равенства и связанных с ним аксиом равенства не возникает никакого противоречия, т. е. что при этом никакие две формулы и не оказываются выводимыми одновременно.

Это доказательство мы сможем провести уже применявшимся в гл. IV способом распространив понятие -тождественной формулы исчисления предикатов и на формулы со знаком равенства. Формулу такого рода мы назовем -тождественной (Е здесь означает произвольное, отличное от нуля конечное число), если она, будучи проинтерпретирована в Е-элементной индивидной области, принимает значение «истина» при любой подстановке логических функций 2) вместо формульных переменных и индивидов вместо входящих в нее свободных индивидных переменных (при этом каждому фигурирующему в роли элементарной формулы равенству

в соответствии с его содержательным значением мы придаем значение «истина» или «ложь» в зависимости от того, совпадает с t или же нет).

Кроме того, понятию -тождественной формулы мы сопоставим двойственное ему понятие -выполнимой формулы. Формула рассматриваемого нами формализма будет называться -выполнимой, если она, будучи проинтерпретирована в -элементной индивидной области, принимает значение «истина» при подходящей подстановке логических функций вместо формульных переменных и индивидов вместо свободных индивидных переменных и при условии, что входящим в нее равенствам мы приписываем истинностные значения, соответствующие их содержательному смыслу.

Если отвлечься от того обстоятельства, что здесь в рассмотрение вовлекаются свободные индивидные переменные, то определения этих понятий совпадут с приводившимися в гл. I определениями общезначимости и выполнимости для -элементной индивидной области

Для любой заданной формулы соответствующей проверкой мы всегда сможем выяснить, является ли она 1-тождественной, соответственно -выполнимой. При этом всякая формула -тождественна тогда и только тогда, когда ее отрицание -выполнимым не является.

Формулу, которая является -тождественной для любого , мы, как и раньше, назовем тождественной в конечно а формулу, которая является -выполнимой для некоторых определенных мы назовем выполнимой в конечном.

Мы утверждаем, что обе формулы тождественны в конечном. Для формулы это ясно непосредственно. Что же касается то, интерпретируя эту формулу в какой-либо -элементной индивидной области и производя подстановку вместо формульной переменной и индивидных переменных, мы придем к формуле

Теперь, если совпадает с то тоже совпадает с и поэтому выражение

а тем самым и вся формула в целом, получает значение «истина»; если же отлично от то

принимает значение «ложь», а вся формула в целом снова принимает значение «истина».

С учетом приведенных в гл. IV соображений отсюда можно заключить, что все формулы, выводимые в исчислении предикатов с участием аксиом равенства, являются тождественными в конечном. Отсюда, далее, вытекает, что если мы помимо аксиом равенства добавим какие-нибудь новые -тождественные формулы (для произвольного фиксированного то все выводимые в результате этого формулы снова будут -тождественными. Таким образом, при добавлении одной или нескольких тождественных в конечном формул все выводимые формулы тоже будут тождественными в конечном.

В связи со сказанным следует особенно отметить, что при добавлении к исчислению предикатов равенства и связанных с ним аксиом мы опять не получаем полноты (в том, например, смысле, что всякая формула либо оказывается выводимой, либо, будучи добавлена в качестве исходной формулы, ведет к появлению противоречия).

Действительно, мы знаем, что уже среди формул простого исчисления предикатов для любого числа имеются такие, которые являются -тождественными, но не -тождественными. Всякая такая формула, по только что доказанному, не может оказаться выводимой и в том случае, если мы дополнительно присоединим знак равенства и формулы [так как она не является -тождественной]. С другой стороны, если формулу такого рода присоединить к числу исходных, то снова не получится никакого противоречия; более того, и в этом случае выводимыми окажутся только такие формулы, которые являются ждественными.

Многообразие тех формул, которые являются но не -тождественными, в результате добавления знака равенства становится значительно более широким. Вследствие этого теряет силу теорема о том, что всякая -тождественная формула является в то же самое время и -тождественной, или — иными словами — что всякая -выполнимая формула заодно является и -выполнимой. В самом деле, используя знак равенства, мы для любого конечного числа сможем при помощи соответствующей формулы выразить тот факт, что рассматриваемая индивидная область состоит в точности из I индивидов.

И хотя в указанном смысле слова исчисление предикатов с добавленным знаком равенства и с аксиомами равенства оказывается неполным, тем не менее характеризация равенства посредством формул оказывается однозначной в следующем смысле. Если кроме знака равенства ввести еще один

предикатный символ

и ввести для него в качестве аксиом формулы

соответствующие формулам то можно будет вывести формулу

Чтобы убедиться в этом, в силу соображений симметрии достаточно указать вывод формулы

В формуле вместо именной формы подставим выражение Это даст нам

Переставив посылки, получим

а эта формула совместно с формулой

по схеме заключения даст нам требуемую формулу.

Подчеркнем, что вывод этот существенно опирается на то, что оба предиката

совмещаются в рамках одного и того же формализма.

1
Оглавление
email@scask.ru