Главная > Основания математики (математическая логика)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Исследования, направленные на непосредственное финитное построение анализа; возврат к прежней постановке проблемы; теория доказательств

Таким образом, мы возвратились к проблеме, поставленной в гл. I. Однако еще осталось ответить на вопрос, с которого мы начали эту главу: а именно, можно ли вместо того, чтобы путем формализации логического вывода доказывать непротиворечивость анализа, построить его прямым, без дополнительных предположений способом и тем самым устранить необходимость упомянутого доказательства.

Ответ на этот вопрос оказывается отчасти утвердительным, отчасти отрицательным. Именно, что касается возможности прямого финитного построения анализа в объеме, достаточном для практических применений, то такая возможность была доказана исследованиями Кронекера и Брауэра.

Кронекер, который первым выдвинул требования финитности, исходил из того, что нефинитные способы умозаключений должны быть повсеместно изгнаны из математики. В теории алгебраических чисел и числовых полей он достиг этой цели. Финитную точку зрения здесь удалось провести в жизнь таким образом, что при этом не пришлось отказываться от чего-либо существенного в части теорем или методов доказательств.

В течение длительного времени план действий, намеченный Кронекером, отвергался полностью, и лишь в последнее время Брауэр принялся за задачу независимого от закона исключенного третьего построения анализа и развил в рамках этой программы значительные разделы анализа и теории множеств. Разумеется, при этом подходе пришлось поступиться существенными результатами и получить в придачу значительные осложнения в способах образования понятий.

Методическая установка «интуиционизма», которую берет за основу Брауэр, в известном смысле представляет собой расширение финитной установки, поскольку Брауэр допускает, чтобы справедливость какого-либо вывода или доказательства принималась без учета его наглядности. Так, например, с точки зрения Брауэра допустимыми являются теоремы вида «если в предположении имеет место то имеет место также и а также вида «предположение, что опровержимо, ведет к противоречию» пли, по выражению Брауэра, «абсурдность абсурдна».

Такого рода расширенное понимание финитной точки зрения, которое в теоретико-познавательном плане сводится к тому, что к наглядным представлениям добавляются еще и рассуждения обшелогпческого характера, оказывается необходимым в том случае, если мы захотим при помощи финитных рассмотрений выйти за рамки какой-либо определенной элементарной области. К необходимости этого мы придем на более поздней стадии наших рассмотрений.

Хотя теперь, в результате упомянутых исследований, в математике проложен путь, двигаясь по которому, можно в значительной мере обходиться без нефинитных способов умозаключений, необходимость в установлении непротиворечивости методов традиционного анализа никоим образом не оказывается излишней. Ведь применения нефинитных методов рассуждений мы не можем избежать, полностью заменив их другими соображениями; напротив, в анализе и в примыкающих к нему областях математики сделать это удается лишь ценой существенных потерь в отношении систематики и технических приемов в доказательствах.

От математика, однако, нельзя требовать, чтобы он согласился с такими потерями, не будучи к этому вынужденным. Методы анализа проверены в такой степени, в какой едва ли проверен какой-либо другой научный аппарат, и они оправдали себя самым блестящим образом. И если мы критикуем эти методы с позиций требования очевидности, то перед нами встает задача выявить причину их применимости, как мы это повсюду делаем в математике, где всякий плодотворный метод обычно применяется с опорой на представления, которые в отношении очевидности оставляют желать лучшего.

Таким образом, поскольку мы становимся на финитную точку зрения, перед нами встает неизбежная проблема убедительно обосновать применимость нефинитных методов, и поскольку наше доверие к этим методам нас не обманывает, то эта убедительность может быть достигнута лишь в результате приобретения уверенности в том, что эти методы традиционного анализа никогда не смогут привести к доказательству ложного результата, точнее говоря, что результаты их применения согласуются как друг с другом, так и с любым фактом, вытекающим из финитной точки зрения.

Однако эта проблема представляет собой не что иное, как проблему установления непротиворечивости нашего традиционного анализа.

В гл. I для обсуждения этой проблемы мы предполагали привлечь уже разработанный в символической логике метод формализации логического вывода Этот метод во всяком случае

обладаст тем свойством, что благодаря ему задача искомого доказательства непротиворечивости — в мере, в какой вообще может быть достигнута полная формализация традиционного анализа, — становится некоторой финитной проблемой. В самом деле, если формализовать традиционный анализ, т. е. перевести его гипотезы способы умозаключении в исходные формулы (аксиомы) и правила вывода, то доказательство в анализе окажется наглядно обозримой последовательностью действий, каждое из которых принадлежит некоторому наперед заданному запасу допустимых актов. Таким образом, в принципиальном отношении мы здесь оказываемся в том же положении, что и в элементарной арифметике, и подобно тому, как там удастся финитным образом проводить определенные доказательства невозможности (например, доказательство того, что не может существовать двух цифр таких,что , финитной же оказывается и проблема установления того факта, что в формализованном анализе не может встретиться двух таких доказательств, что заключительная формула одного из них совпадает с отрицанием заключительной формулы другого.

Правда, мы еще очень далеки от решения этой проблемы. И все же на пути к этой цели уже получены многочисленные важные результаты. На этом пути открылось также новое поле для исследований — формализация логического вывода оформилась в систематическую теорию доказательств, которая в самом общем виде обсуждает вопрос о сфере действия логических способов умозаключений, вопрос, который традиционная логика ставит и решает лишь в очень специальном виде. Благодаря методам теории доказательств обнаружилась также непосредственная взаимосвязь между проблемой обоснования математики и логическими проблемами.

Эта теория доказательств, называемая также метаматематикой, будет развита нами в дальнейшем изложении. Мы начнем с формализации логического вывода, которую на первых порах мы изложим независимо от ее применения к теории доказательств.

1
Оглавление
email@scask.ru