ГЛАВА VIII. ПОНЯТИЕ «ТОТ, КОТОРЫЙ» И ЕГО УСТРАНИМОСТЬ

§ 1. i-правило и оперирование с ним

1. Разъяснения неформального характера; введение i-правила; предотвращение коллизий; изображение функций посредством i-термов.

Наш логический формализм в том виде, как мы его до сих пор развивали, вполне достаточен для целей формализации аксиоматических теорий и проводимых в них доказательств. Тем не менее в нем отсутствует изображение одной логической конструкции, часто используемой в повседневном мышлении, и в особенности в математике, хотя в доказательствах применения ее можно было бы и избежать.

Логическая операция, о которой здесь идет речь, в языке выражается при помощп оборотов типа определенного артикля. Примерами могут служить такие обороты, как «высочайшая вершина Альп», «мать Гёте», «композитор, сочинивший данную оперу», «камень, который мы вчера нашли». Из области математики в качестве примеров можно привести «наибольший общий делитель чисел 63 и 84» или «наибольшее значение функции

Здесь всякий раз некоторый объект характеризуется тем, что для него и только для него выполняется некоторый вполне определенный предикат.

В области рассматриваемых нами высказываний всякий такой предикат изображается некоторой формулой

и условие, что этот предикат выполняется для одного и только для одного объекта, выражается с помощью следующих двух формул:

которые называются формулами единственности для Разумеется, нам нужен специальный символ, который

характеризовал бы сопоставление предикату того единственного объекта, для которого выполняется.

Объект этот определяется пробегом значений предиката в соответствии с этим, при формализации указанного сопоставления аргумент предиката играет роль связанной переменной.

Следуя Расселу и Уайтхеду, мы используем символ

(читается: «тот объект х, для которого имеет место Выражение такого рода мы будем называть характеристикой.

Рассел и Уайтхед, особенно настойчиво подчеркивавшие своеобразие рассматриваемой нами конструкции, содержательно истолковывают формулы вида в которых вместо терма фигурирует некоторая характеристика, понимая под следующее высказывание: «существует единственный объект, для которого имеет место и для этого объекта имеет место также и

В соответствии с этим, формула, в которой встречается символ всякий раз изображает ложное высказывание уже в том случае, если для не выполняются условия, изображенные соответствующими формулами единственности.

Это истолкование формул вида не носит характера явного определения для символа -символа) действительно, оно не дает для этого символа выражения, которое непосредственно определяло бы его, а лишь определяет формулы, в которые входит вместо некоторого терма как составная часть. Но все же мы можем извлечь из этого истолкования некоторый подход к доказательству, с помощью которого мы установим устранимость характеристик -символов).

Для того чтобы упорядочить применение -символа в нашем исчислении, мы будем как можно ближе придерживаться фактически соблюдаемого в речевом обиходе, и в особенности в математике, правила, которое заключается в том, что выражение «тот объект, который обладает свойством употребляется лишь в том случае, когда уже установлено, что существует один и только один объект, обладающий этим свойством.

В соответствии с этим, выражение мы будем допускать в качестве терма только тогда, когда уже выведены соответствующие формулы единственности для Кроме того, мы должны выразить еще и то обстоятельство, что в упомянутом случае терм изображает как раз такой объект, для которого имеет место. Так мы приходим к формулировке следующего правила употребления -символа, которое мы для краткости будем называть -правилом:

Если для формулы выведены формулы единственности, то, начиная с этого момента, выражение (или соответственно будет считаться термом, а формула будет считаться формулой, выведенной по схеме

Разумеется, это -правило еще нуждается в уточнении в части, касающейся применения связанных переменных.

В отношении входящей в -символ связанной переменной, как и в отношении переменных, связанных кванторами всеобщности и существования, будет действовать правило их переименования.

В случае кванторов всеобщности и существования это правило применялось для того, чтобы избежать коллизпй между связанными переменными Теперь это требование отсутствия коллизий мы распространим и на связанные переменные, входящие в состав 1-символов. Это означает, что для того, чтобы какое-либо выражение могло считаться формулой или соответственно термом, мы будем требовать, чтобы один из кванторов существования и всеобщности и ни один из -символов не попадал в нем в область действия другого квантора пли -символа с той же самой связанной переменной. Так, например, ни один из символов не должен находиться в области действия какого-либо другого из этих знаков в сочетании с той же самой связанной переменной у.

Наличие правила переименования связанных переменных всегда дает возможность избегать таких коллизий между связанными переменными. При употреблении -символов мы постоянно должны будем пользоваться этими переименованиями. Уже при выводе формул единственности всякая связанная переменная, входящая в должна получить наименование, отличное от х и от у. Кроме того, следует заметить, что образование выражения

если формула содержит какую-либо связанную переменную, всегда дает повод к коллизии между связанными переменными. Во всех этих случаях -правило должно пониматься таким образом, что в заключительной формуле схемы в выражении производится переименование всех входящих в связанных переменных, так что в получающемся выражении ни

одна из этих переменных больше не встречается, и потому в

коллизий между связанными переменными не будет.

Пусть, например, (а) представляет собой формулу

Формулы единственности для нее могут быть получены из аксиом равенства с помощью эквивалентности

Тем самым -правило может быть применено к Тем не менее при этом с самого начала имеется трудность, заключающаяся в том, что в выражении

которое записывается в виде

имеет место коллизия между связанными переменными, так как в нем в области действия стоящего слева квантора существования этот же самый квантор встречается еще раз. Мы избежим этой коллизии, переименовав внутри переменную в какую-нибудь другую переменную, например в . Измененный таким образом терм

теперь можно будет подставить в формулу вместо а, и при этом получится формула

которая по схеме -правила следует из формул единственности для

В дальнейшем это выполнение переименований в целях избежания коллизий между связанными переменными всегда будет рассматриваться как составная часть применения -правила и не всегда будет оговариваться специально. В дальнейшем простоты ради мы будем разрешать запись

и в тех случаях, когда подстановка терма

в формулу требует переименования одной или нескольких связанных переменных и когда для указания этих изменений

следовало бы более точно писать

В качестве простого примера на применение -правила установим выводимость эквивалентности

для формулы с уже выведенными формулами единственности.

В самом деле, -правило дает нам формулу а эта формула в сочетании с аксиомой равенства дает

С другой стороны, импликация

получается из формулы в сочетании со второй формулой единственности.

После этих дополнений к -правилу мы сделаем также ряд замечаний относительно содержательного понимания введенных при помощи -правила термов. Вводя -символ для целей формализации понятия «тот, который», мы исходили из рассмотрения таких формул с помощью которых изображается вполне определенное свойство некоторого (подставляемого вместо переменной а) объекта. Но формула представляет какое-либо определенное свойство только тогда, когда она не содержит других свободных переменных, кроме а. В противном случае она изображает двучленное или же многочленное отношение между объектами пли, если в ней содержатся формульные переменные, отношение между объектами и предикатами.

Постараемся понять, что же содержательно соответствует введению терма в случае формулы с несколькими свободными переменными. Простейший мыслимый случай — это случай, когда имеется формула которая не содержит никаких свободных переменных, кроме и для которой по отношению к переменной а оказываются выводимыми формулы единственности

и

так что с помощью -правила выражение может быть введено в рассмотрение в качестве терма.

Здесь изображает некоторое двучленное отношение, и формулам единственности содержательно соответствует высказывание о том, что для всякого объекта (из положенной в основу

рассмотрения индивидной области) существует один и только один объект а, находящийся к нему в отношении Значит, терм изображает «объект, находящийся к в отношении в его зависимости от т. е. как функцию от

С помощью этой функции отношение можно разрешить относительно а в виде равенства

Формально это осуществляется путем вывода эквивалентности

которая представляет собой частный случай эквивалентности, уже упоминавшейся ранее.

Подобно тому, как в этом рассмотренном нами случае терм при содержательном его истолковании изображает некоторую функцию от аргумента которая каждому принимаемому в качестве значения объекту (из положенной в основу рассмотрения индивидной области) однозначно сопоставляет некоторый новый объект (этой области), в общем случае терм содержащий одну или несколько свободных переменных, изображает функцию, имеющую эти переменные в качестве аргументов. В частности, если все фигурирующие в этом терме свободные переменные являются индивидными переменными, то изображаемая им функция является математической функцией, т. е. однозначным соотнесением какого-либо нового объекта одному или нескольким исходным объектам в то время как при наличии формульных переменных изображаемая функция одному или нескольким (одноместным или же многоместным) предикатам, а кроме того, быть может, одному или нескольким объектам будет однозначно сопоставлять в качестве значения некоторый новый объект.