3. Применение этой процедуры к системе (Z); перспективы дальнейших исследований.

Мы проиллюстрируем переход от функциональных знаков к представляющим их предикатным символам в том виде, как он происходит при помощи -термов, а также и процедуру исключения индивидных символов при помощи явных определений на примере системы

В системе нас имеются функциональные знаки а, а При помощи эквивалентностей

мы сопоставим этим знакам предикатные символы

Если эти эквивалентности рассматривать как явные определения указанных предикатных символов, то из них для каждого из этих символов с помощью аксиом равенства могут быть выведены соответствующие формулы единственности по последнему аргументу.

Сейчас мы, наоборот, возьмем эти формулы единственности в качестве аксиом. Тогда при помощи -правила мы сможем ввести термы

и если мы возьмем равенства

в качестве явных определений, то формулы окажутся выводимыми.

Теперь, для того чтобы из системы получить такую систему аксиом, в которой вместо указанных трех функциональных знаков фигурируют сопоставленные им предикатные символы, нам остается только удалить, применив эквивалентности и равенства [1], [2], [3], эти функциональные знаки из аксиом, в которых они встречаются [т. е. из аксиом рекурсивных равенств для а и аксиомы индукции], а затем устранить -термы. Процедура эта принимает следующий вид:

Аксиомы с помощью эквивалентности могут быть переведены в формулы

и

вторая из которых с помощью [1] может быть затем переведена в формулу

а из нее, исключив -символ, мы получим формулу

которая допускает элементарное преобразование в

Рекурсивные равенства для с помощью эквивалентности могут быть переведены в

и

вторая из них с помощью [1] и [2] может быть переведена в формулу

из которой исключением -символов и элементарными преобразованиями мы получим формулу

Совершенно аналогичным образом вместо рекурсивных равенств для с помощью и [1], [2], [3] могут быть получены формулы

и

Аксиома индукции с помощью [1] может быть переведена в формулу

а из нее в результате устранения -символа и простых преобразований мы получим формулу

Тем самым мы произвели переход от системы к такой равносильной ей системе аксиом, в которой вместо функциональных знаков фигурируют предикатные символы. В этой системе аксиом

формулы единственности

как аксиомы оказываются ненужными. Действительно, формула

с помощью модифицированной аксиомы индукции и формулы единственности

может быть выведена из тех двух формул, которые представляют рекурсивные равенства для аналогично, формула

с помощью модифицированной аксиомы индукции и формулы

может быть выведена из двух формул, появившихся вместо рекурсивных равенств для

Таким образом, после замены связанных переменных свободными во вторых формулах единственности для символов мы вместо системы получим, не считая аксиом равенства, следующие аксиомы:

Количество аксиом при переходе от системы увеличилось на четыре; а именно, добавились две формулы единственности для и по одной для и для

Теперь еще можно будет исключить при помощи явного определения символ 0. В самом деле, из аксиомы

средствами исчисления предикатов мы получим сначала

а затем

Тем самым оказывается выведенной первая формула единственности для

Вторую формулу можно получить из формулы

которая сама получается применением модифицированной аксиомы индукции. Теперь -правило в сочетании с только что приведенной формулой дает нам равенство

Аналогично тому, как мы поступали при исключении функциональных символов, мы можем снова обратить дедуктивную связь, взяв в качестве аксиом формулы единственности

которые мы ранее вывели с использованием символа 0, а в качестве явного определения для символа равенство [4] (после введения при помощи -правила терма

Теперь, опираясь на эту модификацию формализма, мы можем следующим образом провести исключение символа 0: сначала вместо этого символа мы всюду подставим определяющий его -терм, а затем применим процедуру исключения -символов.

Если для замены -терма при выполнении нашей процедуры взята переменная то аксиома

перейдет в выводимую средствами исчисления предикатов формулу

а три остальные формулы системы содержащие символ (т. е. формулы

и модифицированная аксиома индукции), превратятся соответственно в формулы

и

которые нужно будет взять в качестве аксиом вместо этих формул.

Наконец, сказывается еще и то обстоятельство, что из аксиомы индукции в новом ее виде может быть выведена вторая из связанных с термом формул единственности, которую мы взяли в качестве аксиомы. Действительно, если мы в новой аксиоме индукции вместо формульной переменной с именной формой подставим формулу

которую сокращенно обозначим посредством то ввиду выводимости формулы

мы получим формулу

которая в подробной записи имеет вид

из этой формулы элементарным преобразованием с заменой свободных переменных связанными мы получим нужную нам формулу единственности. Таким образом, в качестве аксиомы она оказывается ненужной.

Другая формула единственности

в новой системе аксиом замещает прежнюю аксиому

В итоге вместо системы мы получили некоторую систему не содержащую никаких основных арифметических знаков, кроме предикатных символов

Изложенный на этом примере метод исключения функциональных знаков и индивидных символов играет важную роль в вопросах сведения целого ряда проблем, имеющих отношение к аксиоматическому методу, к проблемам специального типа.

С другой точки зрения введение функциональных знаков и индивидных символов может оказаться, наоборот, выгодным; в частности, иногда оно может быть использовано для частичного исключения экзистенциальных аксиом и для замены оставшихся

такими аксиомами, в которых встречаются только свободные переменные.

Например, если мы произведем обратный переход от системы к системе то в результате введения штрих-функции аксиома

окажется ненужной, а вместо аксиомы

появится аксиома

не содержащая связанных переменных.

В расчете на это упрощение мы ввели в гл. VI штрих-символ и символ 0, и с помощью этих символов нам удалось описать общую модель двух систем формул при помощи системы аксиом без связанных переменных.

Теперь возникает вопрос о том, всегда ли исключение экзистенциальных аксиом путем введения функциональных знаков и индивидных символов может быть реализовано в виде перехода к некоторой равносильной системе аксиом.

Этим вопросом, который нашими предыдущими рассмотрениями был положительно решен лишь в отдельных случаях 2), мы займемся в общем виде в начале следующего раздела нашего сочинения. Обсуждение этого вопроса попутно приведет нас к доказательству уже упоминавшейся ранее теоремы Эрбрана 3), а отсюда — к преодолению той проблематики, с рассмотрения которой и начались наши исследования (мы имеем в виду наши сомнения в достаточности моделей финитной арифметики для установления непротиворечивости тех или иных систем аксиом).

Но проблема установления непротиворечивости ни в коем случае этим не исчерпывается, даже если мы ограничимся формализмом системы с добавлением функции Мы только знаем из теоремы об устранимости -символов, что в предположении непротиворечивости системы непротиворечивой

оказывается и та система, которая получается из в результате присоединения символа и добавления к числу аксиом формул Но непротиворечивость самой системы не вытекает ни из предыдущих результатов, ни из теоремы Эрбрана.

К доказательству непротиворечивости системы и к связанным с этим фундаментальным вопросам мы вернемся в последнем разделе нашего сочинения.