Главная > Основания математики (математическая логика)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Применение этой процедуры к системе (Z); перспективы дальнейших исследований.

Мы проиллюстрируем переход от функциональных знаков к представляющим их предикатным символам в том виде, как он происходит при помощи -термов, а также и процедуру исключения индивидных символов при помощи явных определений на примере системы

В системе нас имеются функциональные знаки а, а При помощи эквивалентностей

мы сопоставим этим знакам предикатные символы

Если эти эквивалентности рассматривать как явные определения указанных предикатных символов, то из них для каждого из этих символов с помощью аксиом равенства могут быть выведены соответствующие формулы единственности по последнему аргументу.

Сейчас мы, наоборот, возьмем эти формулы единственности в качестве аксиом. Тогда при помощи -правила мы сможем ввести термы

и если мы возьмем равенства

в качестве явных определений, то формулы окажутся выводимыми.

Теперь, для того чтобы из системы получить такую систему аксиом, в которой вместо указанных трех функциональных знаков фигурируют сопоставленные им предикатные символы, нам остается только удалить, применив эквивалентности и равенства [1], [2], [3], эти функциональные знаки из аксиом, в которых они встречаются [т. е. из аксиом рекурсивных равенств для а и аксиомы индукции], а затем устранить -термы. Процедура эта принимает следующий вид:

Аксиомы с помощью эквивалентности могут быть переведены в формулы

и

вторая из которых с помощью [1] может быть затем переведена в формулу

а из нее, исключив -символ, мы получим формулу

которая допускает элементарное преобразование в

Рекурсивные равенства для с помощью эквивалентности могут быть переведены в

и

вторая из них с помощью [1] и [2] может быть переведена в формулу

из которой исключением -символов и элементарными преобразованиями мы получим формулу

Совершенно аналогичным образом вместо рекурсивных равенств для с помощью и [1], [2], [3] могут быть получены формулы

и

Аксиома индукции с помощью [1] может быть переведена в формулу

а из нее в результате устранения -символа и простых преобразований мы получим формулу

Тем самым мы произвели переход от системы к такой равносильной ей системе аксиом, в которой вместо функциональных знаков фигурируют предикатные символы. В этой системе аксиом

формулы единственности

как аксиомы оказываются ненужными. Действительно, формула

с помощью модифицированной аксиомы индукции и формулы единственности

может быть выведена из тех двух формул, которые представляют рекурсивные равенства для аналогично, формула

с помощью модифицированной аксиомы индукции и формулы

может быть выведена из двух формул, появившихся вместо рекурсивных равенств для

Таким образом, после замены связанных переменных свободными во вторых формулах единственности для символов мы вместо системы получим, не считая аксиом равенства, следующие аксиомы:

Количество аксиом при переходе от системы увеличилось на четыре; а именно, добавились две формулы единственности для и по одной для и для

Теперь еще можно будет исключить при помощи явного определения символ 0. В самом деле, из аксиомы

средствами исчисления предикатов мы получим сначала

а затем

Тем самым оказывается выведенной первая формула единственности для

Вторую формулу можно получить из формулы

которая сама получается применением модифицированной аксиомы индукции. Теперь -правило в сочетании с только что приведенной формулой дает нам равенство

Аналогично тому, как мы поступали при исключении функциональных символов, мы можем снова обратить дедуктивную связь, взяв в качестве аксиом формулы единственности

которые мы ранее вывели с использованием символа 0, а в качестве явного определения для символа равенство [4] (после введения при помощи -правила терма

Теперь, опираясь на эту модификацию формализма, мы можем следующим образом провести исключение символа 0: сначала вместо этого символа мы всюду подставим определяющий его -терм, а затем применим процедуру исключения -символов.

Если для замены -терма при выполнении нашей процедуры взята переменная то аксиома

перейдет в выводимую средствами исчисления предикатов формулу

а три остальные формулы системы содержащие символ (т. е. формулы

и модифицированная аксиома индукции), превратятся соответственно в формулы

и

которые нужно будет взять в качестве аксиом вместо этих формул.

Наконец, сказывается еще и то обстоятельство, что из аксиомы индукции в новом ее виде может быть выведена вторая из связанных с термом формул единственности, которую мы взяли в качестве аксиомы. Действительно, если мы в новой аксиоме индукции вместо формульной переменной с именной формой подставим формулу

которую сокращенно обозначим посредством то ввиду выводимости формулы

мы получим формулу

которая в подробной записи имеет вид

из этой формулы элементарным преобразованием с заменой свободных переменных связанными мы получим нужную нам формулу единственности. Таким образом, в качестве аксиомы она оказывается ненужной.

Другая формула единственности

в новой системе аксиом замещает прежнюю аксиому

В итоге вместо системы мы получили некоторую систему не содержащую никаких основных арифметических знаков, кроме предикатных символов

Изложенный на этом примере метод исключения функциональных знаков и индивидных символов играет важную роль в вопросах сведения целого ряда проблем, имеющих отношение к аксиоматическому методу, к проблемам специального типа.

С другой точки зрения введение функциональных знаков и индивидных символов может оказаться, наоборот, выгодным; в частности, иногда оно может быть использовано для частичного исключения экзистенциальных аксиом и для замены оставшихся

такими аксиомами, в которых встречаются только свободные переменные.

Например, если мы произведем обратный переход от системы к системе то в результате введения штрих-функции аксиома

окажется ненужной, а вместо аксиомы

появится аксиома

не содержащая связанных переменных.

В расчете на это упрощение мы ввели в гл. VI штрих-символ и символ 0, и с помощью этих символов нам удалось описать общую модель двух систем формул при помощи системы аксиом без связанных переменных.

Теперь возникает вопрос о том, всегда ли исключение экзистенциальных аксиом путем введения функциональных знаков и индивидных символов может быть реализовано в виде перехода к некоторой равносильной системе аксиом.

Этим вопросом, который нашими предыдущими рассмотрениями был положительно решен лишь в отдельных случаях 2), мы займемся в общем виде в начале следующего раздела нашего сочинения. Обсуждение этого вопроса попутно приведет нас к доказательству уже упоминавшейся ранее теоремы Эрбрана 3), а отсюда — к преодолению той проблематики, с рассмотрения которой и начались наши исследования (мы имеем в виду наши сомнения в достаточности моделей финитной арифметики для установления непротиворечивости тех или иных систем аксиом).

Но проблема установления непротиворечивости ни в коем случае этим не исчерпывается, даже если мы ограничимся формализмом системы с добавлением функции Мы только знаем из теоремы об устранимости -символов, что в предположении непротиворечивости системы непротиворечивой

оказывается и та система, которая получается из в результате присоединения символа и добавления к числу аксиом формул Но непротиворечивость самой системы не вытекает ни из предыдущих результатов, ни из теоремы Эрбрана.

К доказательству непротиворечивости системы и к связанным с этим фундаментальным вопросам мы вернемся в последнем разделе нашего сочинения.

1
Оглавление
email@scask.ru