ГЛАВА V. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ С РАВЕНСТВОМ. ПОЛНОТА ОДНОМЕСТНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ

§ 1. Расширенный формализм

1. Знак равенства; изображение высказываний о количестве; аксиомы равенства и формальные свойства равенства.

Равенство, которое мы в речевом обиходе выражаем фразами типа «a представляет собой тот же самый объект, что и b», при внешнем рассмотрении имеет вид предиката с двумя субъектами.

Но по содержанию оно соответствует чему-то такому, что в известном смысле предшествует определению какого бы то ни было предиката, а именно — возможности различения элементов индивидной области. Во всяком случае, так это выглядит с той точки зрения, которой мы придерживаемся в аксиоматических теориях, а также в теоретико-множественной логике предикатов.

В любой аксиоматической теории основные грамматические конструкции связываются с одной или несколькими системами объектов, внутри которых различение индивидов предполагается имеющимся с самого начала. Такому воззрению соответствует и тот факт, что в этих теориях равенство, как и его антипод — различие, обычно не фигурирует среди основных отношений, подлежащих неявной характеризации при помощи аксиом (речь идет о таких, например, отношениях, как отношения принадлежности, порядка и конгруэнтности в геометрии), а используется как некоторое понятие содержательной логики.

Теперь, чтобы учесть, с одной стороны, лингвистическую форму высказываний о равенстве, а с другой стороны, их особый содержательный характер, мы рассмотрим равенство как некоторый выделенный по отношению к логике основной предикат.

Определенная формализация равенства в нашем распоряжении имеется уже благодаря возможности идентификации переменных. Так, например, формула

выражает тот факт, что отношение имеет места между объектом и им же самим. Однако этого нам не хватит уже, например, в том случае, если мы захотим воспроизвести предложение «если а не меньше не меньше , то а представляет собой тот же самый объект, что и

Мы введем для равенства специальный предикатный символ. В качестве этого символа мы возьмем — поскольку у нас нет причин отличать данное равенство от «равенства» арифметического — обычный знак равенства

Прежде всего, к этому символу будет применимо правило подстановки, т. е. выражение

мы сможем подставлять вместо любой формульной переменной с аргументами . В прочих отношениях роль знака равенства в нашем формализме будет определяться следующими двумя аксиомами равенства

которые в процессе вывода можно будет использовать в качестве исходных формул.

Отрицание равенства есть различие. В дальнейшем мы будем пользоваться обычным знаком различия, применяя его, однако, лишь как сокращение для отрицания равенства. Таким образом, мы соглашаемся, что вместо

всегда можно будет писать

и наоборот.

В тесной связи с понятиями равенства и различия находятся укладывающиеся в элементарные рамки представления о количестве, и в результате введения знака равенства мы получаем средства для формального изображения этих представлений. В частности, с помощью знака равенства мы сможем формулировать условия, выражающие количество элементов в той индивидной области, к которой относятся связанные индивидные переменные. Так, формула

выражает высказывание о том, что в индивидной области имеется только один элемент. Точно так же формула

выражает (при содержательном ее понимании) тот факт, что в индивидной области имеется самое большее два элемента, а формула

говорит о том, что их имеется по меньшей мере два.

Аналогичным же образом посредством специальной формулы, не содержащей формульных переменных и имеющей в качестве единственного предикатного символа знак равенства, может быть выражена любая наперед заданная конечная верхняя и нижняя оценка числа элементов в рассматриваемой индивидной области.

Эти формулы являются более простыми и элементарными, чем те, которые были использованы Фреге и Расселом для логического определения конкретных конечных чисел, т. е. чем формулы, выражающие 1-численность, 2-численность и т. д. одноместных предикатов.

1-численность одноместного предиката выражается посредством формулы

(«существует элемент х такой, что выполняется для у тогда и только тогда, когда х представляет собой тот же самый элемент, что и у»),

2-численность предиката изображается формулой

В тесной связи с понятием 1-численности находятся понятия однозначности и взаимной однозначности. Их тоже можно формализовать с помощью знака равенства. Так, формула

выражает свойство отношения (предиката с двумя субъектами), заключающееся в том, что для всякого элемента а существует один и только один элемент для которого имеет место . А формула

выражает то обстоятельство, что посредством отношения индивидная область взаимно однозначно отображается на себя.

Приведенные примеры иллюстрируют разнообразие изобразительных возможностей, открывающихся перед нами в результате введения знака равенства. Рассмотрим теперь аксиомы равенства и способы их использования в процессе дедукции.

Относительно этих аксиом в первую очередь необходимо заметить, что от формул можно легко перейти к соответствующим им формулам со связанными переменными. В самом деле, формулы дедуктивно равны формулам

и

что является непосредственным следствием одной из первых наших теорем о дедуктивном равенстве.

С точки зрения содержания формула может рассматриваться как формализация «закона тождества», а формула соответствует принципу замены равного равным.

Теперь мы перейдем к выводу из аксиом равенства ряда специальных формул. При этом мы начнем с тех из них, которые выражают общеизвестные формальные свойства равенства. Эти формулы мы получим следующим образом. Прежде всего, мы подставим в формулу равенство вместо Тогда у нас получится формула

В полученную формулу подставим а вместо с, а затем поменяем местами посылки. Тогда получится

а эта формула вместе с (3) по схеме заключения дает

Формулу эту можно получить и без применения Действительно, подставим в вместо формулу . Тогда получится

Здесь опять можно поменять местами посылки, и так как получается подстановкой из тождественной формулы С то по схеме заключения мы получаем

а отсюда — средствами исчисления высказываний — формулу 2)). Из этой формулы с помощью контрапозиции и подстановки можно, кроме того, получить

Далее, из 1)) при помощи подстановок мы получаем

а эта формула совместно с 2)) по правилу силлогизма дает

Формула 2)) выражает свойство симметрии равенства, а формула 3)) - свойство транзитивности; выражает свойство рефлексивности.

Вообще, о предикате мы говорим, что он рефлексивен, если имеет место

что он симметричен, если имеет место

и что он, транзитивен, если имеет место

Эти три свойства — рефлексивность, симметрия и транзитивность — часто вместе называются характеристическими свойствами отношения равенства. Но при этом речь обычно идет не о равенстве в смысле тождественности, а скорее только о некотором роде совпадения

В самом деле, любое отношение между двумя объектами, имеющее характер какого-либо совпадения, — такое, как подобие фигур, параллельность прямых, равенство длин отрезков или топологическое равенство многообразий, — обладает указанными тремя свойствами.

Среди всех такого рода отношений равенство выделяется тем, что оно означает не какое-нибудь одностороннее совпадение, а совпадение вообще — по меньшей мере постольку, поскольку в расчет принимаются признаки, могущие быть выраженными посредством основных предикатов рассматриваемой теории. Эта полнота совпадения и находит свое выражение во второй аксиоме равенства.

Приведенные выше выводы формул из формул показывают, что для установления указанных трех свойств у какого-либо отношения всегда будет достаточно вывести две формулы:

и

Обратно, вторая из этих формул может быть получена из формул для симметрии и транзитивности с помощью правила силлогизма, так что система из трех формул для рефлексивности, симметрии и транзитивности равнозначна системе, состоящей из двух последних формул.

Из формул 2)) и 3)) мы можем также вывести формулу

соответствующую утверждению о том, что два объекта, порознь равные третьему, равны между собой.

Из формулы 4)) по правилу контрапозиции мы получаем

а отсюда, переставляя посылки и применяя правило замены для импликации, получаем формулу

Из формулы подстановкой вместо формульной переменной получаем

а отсюда, применяя контрапозицию,