§ 2. Дальнейшие применения интуитивных рассуждений

1. Отношение арифметики к учению о количестве.

Сказанного вполне достаточно для того, чтобы охарактеризовать элементарный способ изложения арифметики. Мы построили ее как теорию цифр, т. е. фигур некоторого простого вида. Гносеологическое значение этой теории определяется той связью, которая существует между цифрами и собственно понятием количества. Характер этой связи таков.

Пусть нам дана какая-нибудь конкретная (и, значит, конечная) совокупность объектов. Предположим, что мы перебираем друг за другом объекты этой совокупности и приписываем им по порядку в качестве номеров цифры Когда все эти объекты будут исчерпаны, мы дойдем до некоторой вполне определенной цифры Учитывая характер ее происхождения, естественно назвать эту цифру порядковым числом указанной совокупности при заданном способе перечисления.

Однако легко понять, что результирующая цифра вовсе не зависит от выбора способа перечисления. В самом деле, пусть

суть объекты нашей совокупности в заданном перечислении, и пусть

суть те же объекты, перечисленные в другом порядке. Тогда мы сможем перейти от первой нумерации ко второй посредством следующих перестановок номеров. Если объект отличен от то прежде всего поменяем местами номер который объект имеет в первой нумерации, с цифрой 1, т. е. припишем объекту номер 1, а объекту номер . В так возникшей нумерации объект в качестве номера имеет цифру 1. После него под номером 2 идет либо объект , либо объект с каким-нибудь другим номером который во всяком случае отличен от 1. Тогда поменяем местами в нашей новой нумерации номер с номером 2, так что возникнет нумерация, в которой объект имеет номер 1, а объект номер 2. Далее, имеет либо номер 3, либо какой-нибудь другой номер во всяком случае, отличный от 1 и 2. Поменяем его местами с 3 и т. д.

Этот процесс в конце концов должен оборваться; в самом деле, при каждой новой перестановке текущая нумерация рассматриваемой совокупности совпадает с нумерацией

по крайней мере на одном новом месте, начиная слева, так что в итоге получит номер номер номер и

более ни одного объекта не останется. С другой стороны, при выполнении каждой перестановки запас используемых цифр остается одним и тем же; происходит всего лишь замена номера одного объекта номером другого. Таким образом, нумерация всякий раз производится цифрами от 1 до , а следовательно,

Тем самым оказывается, что цифра приписана рассматриваемой совокупности независимо от способа ее перечисления, и в этом смысле мы можем считать количеством элементов нашей совокупности. Мы говорим тогда, что эта совокупность состоит из объектов.

Если какие-нибудь две конкретные совокупности имеют одно и то же количество элементов, то, пронумеровав обе эти совокупности, мы можем установить взаимно однозначное соответствие между составляющими их объектами. Наоборот, если такое соответствие имеется между двумя заданными совокупностями, то они обе имеют одно и то же количество элементов, как это непосредственно следует из нашего определения количества.

Теперь, исходя из определения количества и пользуясь рассуждениями содержательного характера, мы сможем формулировать основные положения теории количества — например, теорему о том, что при объединении двух непересекающихся совокупностей с количеством элементов соответственно получается новая совокупность, состоящая из а элементов.