2. Наименьшее общее кратное двух чисел и конечной последовательности чисел; максимум конечной последовательности чисел.

Теперь при помощи определения

мы введем функцию которая будет изображать наименьшее общее кратное Чтобы воспользоваться этим определением, мы должны обратиться к формулам Эти формулы будут применяться здесь следующим образом. Прежде всего мы подставим в вместо а переменную , а затем во все три формулы вместо именной формы подставим формулу

Так мы из и получим формулы

а из после простых преобразований получим

Последняя формула в сочетании с формулой

дает

В формуле, полученной нами из посылка с учетом формул

и

из которых можно получить формулу

может быть заменена посредством Полученная таким образом формула может быть разложена на следующие две формулы:

Во второй из них на основе ранее полученной формулы

и формулы может быть отброшена посылка, так что в результате мы получим

Теперь, для того чтобы воспользоваться полученной из формулой

мы прежде всего заметим, что формула

которая получается с помощью формулы

вместе с выведенной нами формулой

дает формулу

Эта формула вместе с формулой

в которую мы вместо а подставим , а вместо дает

Затем мы привлечем формулы

и

Первая из них в результате подстановки дает

Далее, используя и мы получим

Произведя подстановки в формулу мы получим

Тем самым получается

Теперь применим полученную из формулу

Если мы вместо подставим в нее то в сочетании с предыдущей формулой у нас получится

С другой стороны, ранее мы вывели формулу

тем самым мы получаем

и, значит, ввиду эквивалентности

имеем

Наконец, из-за

здесь еще можно будет опустить в посылке член так что в итоге мы приходим к формуле

Итак, мы получили для функции следующие формулы:

Формулы эти достаточным образом характеризуют рассматриваемую нами функцию.

Для дальнейшего нам потребуется также наименьшее общее кратное конечной последовательности чисел, задаваемой с помощью последовательных значений какого-либо терма Мы получим его с помощью следующего определения:

Из этого определения получаются формулы, совершенно аналогичные тем, которые мы получили выше для функции а именно

Вывод этих формул протекает аналогично выводу соответствующих формул для ; надо будет только индукцией по вывести формулу, которая теперь заменяет формулу

и которая записывается в виде

В связи с этим выводом следует обратить особое внимание на тот факт, что с его помощью удается обойтись без использования рекурсивного определения. Вывод этот протекает следующим образом. Если мы сокращенно обозначим доказываемую формулу посредством

то формула т. е.

может быть получена из формулы

а из мы получим

Теперь для того, чтобы применить схему индукции, нам остается только вывести формулу

Так как имеет вид

то мы можем получить

Поэтому достаточно вывести формулу

для чего в свою очередь будет достаточно средствами исчисления высказываний вывести формулу

Но эта формула, которая в подробной записи имеет вид

средствами исчисления предикатов получается из выводимой формулы

Из получающихся таким образом формул для функции мы теперь можем вывести еще одну формулу:

Эта формула также может быть получена индукцией по Мы опять сокращенно запишем ее в виде

представляет собой формулу

ее можно получить из выводимого равенства

в сочетании с формулой

Тем самым оказывается выведенной и формула

Теперь требуется еще вывести формулу

Для этого, ввиду формулы

достаточно вывести формулу

т. е. в подробной записи:

Эта формула может быть получена с помощью имеющихся для формул

и

Действительно, из первой формулы мы получаем

Из второй формулы подстановкой вместо вместо получаем формулу, которая вместе с предыдущей дает

В силу этой формулы вывод формулы

сводится к применению формулы

которую можно получить из формул

и

Ввиду сказанного, схема индукции дает нам искомую формулу

Мы применим эту формулу некоторым специальным образом, взяв в качестве терм и подставив вместо а терм В результате этого мы получим формулу

Посылку этой импликации можно заменить посредством

действительно, мы можем вывести формулу

Наметим вкратце план этого вывода. Достаточно будет вывести

Для этого мы будем исходить из двух выводимых формул

и

Из второй формулы мы получим

а отсюда, в сочетании с первой формулой, получим

После этого для вывода искомой формулы будет достаточно вывести формулу

которая в свою очередь дедуктивно равна формуле

Но эта формула может быть получена следующим образом. Так как мы имеем

то выводима формула

Далее, из определения мы получим

и

а также

две последние формулы совместно друг с другом дают

Основываясь на приводившейся выше формуле

мы теперь можем получить

а отсюда и требующуюся нам формулу

Тем самым формула

оказывается выведенной.

Наконец покажем, как при помощи функции может быть определен максимум значений какого-либо терма для Соответствующее определение записывается в виде

В дальнейшем от этой функции нам потребуется лишь то ее свойство, которое изображается формулой

Формулу эту мы можем получить, применив формулу в сочетании с формулой

которая выводится индукцией по