Если мы разложим эквивалентности ((1)), ((2)) и ((7)), согласно схеме эквивалентности, на импликации, то две импликации
и
будут выводимы из аксиом 
и из второй аксиомы равенства. Из оставшихся теперь от формул 
четырех импликаций
четвертая может быть выведена из второй и третьей с привлечением аксиом равенства и формул 
Далее, вторая импликация получается из первой путем элементарных преобразований.
Таким образом, для вывода эквивалентностей 
к нашим аксиомам достаточно будет присоединить две формулы
Теперь рассмотрим эквивалентности 
Прежде всего, каждая из них легко может быть сведена (средствами исчисления предикатов) к следующим двум формулам:
Первая из этих формул в том случае, когда количество штрихов 
равно 0, дедуктивно равна формуле
С другой стороны, из этой формулы для любого числа штрихов 
может быть получена формула
Действительно, из формулы
с применением формулы
и вновь присоединенной формулы
может быть выведена формула
из которой без труда с помощью второй аксиомы равенства получается искомая формула. Формула
в том случае, когда число штрихов равно 0, записывается в виде
В этом случае она может быть выведена уже из формулы
В том случае, когда число штрихов равно 1, она имеет вид
Если мы присоединим эту формулу к числу наших аксиом, то сможем шаг за шагом получить 
нее дальнейшие формулы (с большим числом штрихов 
Действительно, пусть формула
оказалась уже выведенной. Тогда формулу
мы получим следующим образом: во-первых, из 
получим
из этой формулы в сочетании с вновь присоединенной формулой
и второй аксиомой равенства получим
а отсюда с использованием формулы
которая выводима из вновь добавленных аксиом, мы получим формулу
С другой стороны, из формулы
которую мы предполагаем выведенной, мы получим формулу
а отсюда, с помощью аксиом равенства, получим формулу
из которой далее получится формула
Эта последняя вместе с упомянутой выше формулой
и дает нам искомую формулу
Таким образом, если к уже ранее добавленным аксиомам мы присоединим формулы
и
то формулы ((8)) будут выводимыми при всех t.
Из каждой формулы 
применением аксиом равенства мы получим соответствующую формулу 
Осталось рассмотреть эквивалентности ((10)). С помощью формулы
или получающейся из нее дизъюнкции
в которой вместо 
надо подставить каждую пару переменных 
и каждую пару переменных 
эти эквивалентности путем повторного применения схемы дизъюнкции, а также формул 
можно свести к более простым эквивалентностям
Каждую из этих эквивалентностей мы разложим на две импликации:
и
Вывод первой из этих двух формул использованием дизъюнкции
можно свести к выводу двух формул:
и
первая из которых может быть получена с использованием формул 
и второй аксиомы равенства, а вторая — с использованием уже выведенной нами формулы
вместе со второй аксиомой равенства и формулой 
Вторая формула
может быть преобразована в конъюнкцию двух формул:
и
Одна из них получается из формулы
с помощью аксиомы 
и второй аксиомы равенства, а вторая — из формулы
которая дедуктивно равна этой формуле, когда число штрихов 
равно нулю, т. е. формуле
Таким образом, в результате присоединения к аксиомам формулы
формулы ((10)) становятся выводимыми.
Итог проведенного нами обсуждения состоит в том, что для вывода эквивалентностей 
к нашим аксиомам достаточно добавить следующие формулы:
Полученная таким образом система аксиом допускает дальнейшие существенные упрощения.
Прежде всего, формулы 
оказываются теперь излишними. Именно, из второй аксиомы равенства 
и из формулы 
мы получаем формулы
(это уже было неоднократно использовано в предшествующих выводах); из них и из формул
получается
а отсюда
Кроме того, формула
в сочетании с 
дает формулу
которая вместе с
позволяет нам получить формулу
Затем формула
может быть выведена из 
и из формулы
которые в результате подстановки дают формулы
и
Формулу 
мы также можем вывести из формул 
и
Таким образом, из списка наших аксиом мы можем вычеркнуть четыре формулы, так что в нем останутся только следующие формулы:
Эту систему формул можно подвергнуть дальнейшим упрощениям. Именно, формула
с учетом выводимых из 
формул
и формулы
дедуктивно равна более простой формуле
Кроме того, рассмотрим формулу
Из нее подстановками можно получить формулу
а отсюда с использованием формулы
получается формула
И обратно, из последней формулы можно получить формулу
В самом деле, формула
в сочетании с выводимой из
формулой
дает
Подставив в нее с вместо 
и используя формулы 
мы получим формулу
Таким образом, эта формула может быть заменена более простой формулой
Далее, формула
с помощью остальных наших формул переводима в
В самом деле, формула
переводима в формулу
Таким образом, нам достаточно будет установить, что формула
переводима в формулу
т. е. что выводимы две импликации:
и
В самом деле, первая и в этих двух формул получается с использованием формул
а вторая — с использованием формул
Наконец, формула 
может быть выведена из формул 
и
Действительно, из последней формулы подстановкой и контрапозицией получается
Таким образом, мы пришли к следующей системе аксиом, состоящей из семи формул:
Позже мы покажем, что эти аксиомы независимы друг от друга.
выводятся из наших прежних аксиом. Именно, 
мы можем получить из аксиом равенства, 
из формулы 
и аксиом равенства, 
из аксиом равенства и аксиом 
