4. Окончательная формулировка правил исчисления предикатов; изображение форм категорических суждений; случай пустой индивидной области.

Теперь мы получили наконец систему правил, с помощью которой, как будет показано, может быть произведена формализация всех обычных способов умозаключений, касающихся взаимосвязи между всеобщим и частным, а также соотношений между всеобщими и частными суждениями. Описанное таким образом исчисление может быть названо исчислением предикатов — причем мы допускаем, как это уже делалось и раньше, предикаты и с несколькими субъектами. Формулами исчисления предикатов мы будем называть только такие формулы — в смысле определенного нами понятия формулы,— которые строятся лишь из переменных и логических знаков. Зато мы будем говорить овыводе средствами исчисления предикатов и в том случае, если в формулах вывода будут встречаться предикатные, а может быть, и индивидные символы. В выводе средствами исчисления предикатов, кроме тех формул, которые в исчислении предикатов вообще допускаются в качестве исходных, в этом качестве могут браться еще и некоторые другие формулы (аксиомы). Про заключительную формулу вывода мы будем тогда говорить, что она выведена из этих аксиом средствами исчисления предикатов.

Теперь еще раз коротко суммируем правила исчисления предикатов.

Прежде всего, у нас имеется правило подстановки вместо формульных переменных, содержание которого приобрело точный характер в результате точной формулировки понятия

формулы; далее, у нас имеются правило подстановки вместо свободных индивидных переменных и правило переименования связанных переменных.

В качестве исходных формул разрешается брать тождественные формулы исчисления высказываний. К ним мы добавляем обе основные формулы:

и

В качестве схем, позволяющих получать новые формулы из ранее полученных, у нас имеется, во-первых, наша первоначальная схема заключения

а кроме того, две новые схемы:

и

Обе они могут применяться лишь тогда, когда в первой формуле схемы переменная а встречается лишь на местах, указанных в качестве аргумента, а х не входит в

Заметим, что особое положение, которое в формулах и схемах переменная х занимает по отношению к другим связанным переменным, может быть компенсировано с помощью правила переименования связанных переменных.

Теперь постараемся понять, как с помощью применения перечисленных правил можно получить обычно применяемые способы умозаключений. А именно, как и в исчислении высказываний, мы при помощи выводимых формул изобразим логические законы, выражающие правила, по которым ведутся рассуждения.

Однако прежде мы вкратце покажем, как с помощью кванторов всеобщности и существования могут быть изображены формулы категорических суждений

Здесь суть предикаты с одним аргументом, и упомянутые четыре суждения в нашей символике формулируются следующим образом:

Относительно всеобщего суждения «все суть мы заметим, что то, как оно представлено в нашем формализме, соответствует точке зрения, согласно которой такое суждение является истинным и тогда, когда ни один объект из индивидной области не обладает свойством В самом деле, формула

выражает содержательное высказывание о том, что для всякого объекта а из этой индивидной области

истинно, и так как импликация в случае ложности принимает значение «истина», то это высказывание выполняется и в том случае, если для всякого объекта а из индивидной области

ложно. Это отклонение от аристотелевского толкования всеобщего суждения, которое само по себе возражений не вызывает, делается нами из соображений простоты.

И хотя вследствие сказанного в качестве субъекта всеобщего суждения можно допускать и такие понятия, под которые не подпадает ни один объект из индивидной области, все же оказывается целесообразным пустую индивидную область из рассмотрения исключить.

Это связано, в частности, с тем, что из формул (а) и (Ь):

с помощью правила силлогизма может быть выведена формула

Однако на самом деле эта формула не согласуется с трактовкой и как конъюнкции и дизъюнкции, распространенных на всю индивидную область. Действительно, нульчленная конъюнкция в духе исчисления высказываний должна была бы считаться истинной, а нульчленная дизъюнкция — ложной. Поэтому для случая пустой индивидной области формула

была бы импликацией с истинной посылкой и ложным заключением и, следовательно, ложной.