2. Формальная точка зрения в алгебре.

Вслед за изложением элементарной арифметики мы хотели бы вкратце обрисовать элементарный содержательный подход к построению алгебры. Речь у нас пойдет об элементарной теории целых рациональных функций от одной или нескольких переменных с целочисленными коэффициентами.

В роли объектов теории у нас снова будут выступать фигуры определенного вида, полиномы, которые конструируются из некоторого запаса букв называемых переменны и из цифр с помощью знаков и скобок. Таким образом, в отличие от элементарной арифметики, знаки здесь будут рассматриваться не в качестве знаков для сообщения, а в качестве объектов теории.

Строчные готические буквы мы будем снова использовать в качестве знаков для сообщения, но не только для цифр, а и для произвольных полиномов.

Конструирование полиномов из перечисленных выше знаков будет происходить в соответствии со следующими правилами построения:

Любая переменная, а также любая цифра считается полиномом.

Исходя из двух полиномов разрешается строить полиномы

Исходя из полинома а, разрешается строить полином

При этом действуют обычные правила, касающиеся расстановки скобок. В качестве знаков для сообщения дополнительно введем:

числа (как в элементарной арифметике);

знак (нуль) для обозначения полинома

обычное обозначение для степени: например, если цифра, то обозначает полином, получающийся из заменой каждой 1 переменной х и расстановкой между двумя соседними х знака

знак для сообщения о взаимной заменимости двух многочленов.

Заменимость многочленов регулируется следующими содержательно формулируемыми правилами:

1. Законы ассоциативности и коммутативности для знаков и

2. Закон дистрибутивности

3. Правила для знака

5. Если два полинома не содержат переменных и знака — и если в смысле элементарной арифметики имеет место равенство то заменим посредством

Эти правила заменимости относятся к тем полиномам, которые фигурируют в качестве составных частей других полиномов. Из приведенных правил могут быть выведены дальнейшие утверждения о заменимости, которые представляют собой тождества и теоремы элементарной алгебры. В качестве простейших доказуемых тождеств упомянем следующие:

В числе теорем, которые могут быть доказаны с помощью неформальных рассуждений, отметим следующие фундаментальные утверждения:

а) Пусть два взаимозаменимых полинома, из которых по меньшей мере один содержит переменную х. Пусть из получаются полиномы и путем замены переменной х всюду, где она входит, одним и тем же полиномом с. Тогда также взаимозаменимы.

б) При подстановке цифр вместо переменных из верного равенства между полиномами получается верное в арифметическом смысле числовое равенство (предполагается, что правила действий с отрицательными числами включены в арифметику).

Поясним смысл этого утверждения на следующем простом примере. Равенство

выражает тот факт, что в соответствии с установленными нами правилами полином заменим посредством полинома На основании утверждения б) мы можем отсюда заключить, что если шип суть знаки для чисел, то совпадает в арифметическом смысле с

в) Всякий полином заменим либо нулем, либо суммой различных произведений степеней переменных (в качестве такого произведения рассматривается и полином 1), каждое из которых имеет положительный или отрицательный числовой коэффициент.

Эта нормальная форма доставляет нам способ, позволяющий для двух данных полиномов решить вопрос о том, являются ли они взапмозаменимыми. Именно, имеет место следующее утверждение:

г) Никакой полином, являющийся суммой различных произведений степеней с числовыми коэффициентами, не заменам нулем; два таких полинома взаимозаменимы только тогда, когда они с точностью до порядка слагаемых и множителей совпадают друг с другом.

Вторая часть этого утверждения следует из первой, а эта последняя в свою очередь может быть доказана с помощью теоремы б) путем рассмотрения соответствующих подстановок цифр.

В качестве специального следствия из г) получаестя следующее утверждение:

д) Если цифра рассматриваемая как полином, заменима цифрой то совпадает с

К этим теоремам надлежит сделать следующее методическое замечание. Фигурирующие в утверждениях а) и д) посылки следует понимать таким образом, что констатировать заменимость одного полинома другим мы уславливаемся в соответствии со сформулированными выше правилами. В теореме в) утверждение о

заменимости конкретизируется посредством указания некоторого способа, приводимого в доказательстве теоремы.

Таким образом, здесь, как и в случае элементарной арифметики, мы полностью укладываемся в рамки элементарных содержательных рассуждений. Это замечание остается справедливым и в отношении других теорем и доказательств элементарной алгебры.