§ 3. Дедуктивная логика высказываний

1. Постановка задачи.

Принятое соглашение наводит нас на мысль о том, нельзя ли все тождественно истинные выражения иолучить из небольшого их числа на основе двух этих правил, т. е. применением подстановки и схемы заключения; иначе говоря, мы

интересуемся вопросом о том, нельзя ли систему тождественно истинных выражений построить дедуктивно. То, что вообще можно обойтись конечным числом выражений, взятых в качестве исходных формул, совсем не самоочевидно уже потому, что при неограниченном числе переменных число тождественно истинных выражений также оказывается бесконечным. Однако в действительности конечного числа исходных формул все же хватает для вывода всей совокупности тождественно истинных выражений. Можно

даже, как показал А. Тарский, обойтись одной-единственной исходной формулой.

Теперь, по совершенной аналогии с дедуктивным построением элементарной геометрии, перед нами возникает задача выбора по возможности более простой и естественной системы исходных формул такой, чтобы максимально отчетливо была видна та роль, которая в процессе логического вывода отводится каждому из рассматриваемых способов сочетания предложений. При этом импликация занимает особое положение, поскольку, например, упоминание о ней содержится уже в схеме заключения.