3. Эвристическое введение правил для кванторов всеобщности и существования; содержательный смысл формул и схем.

В тех правилах для кванторов всеобщности и существования, которые мы рассматривали до сих пор, эти кванторы рассматривались лишь как определенного рода операторы, соотнесенные со связанными переменными. Эти операторы пока всего лишь переводили формулы с данной свободной переменной в некоторые новые формулы, от этой переменной уже не зависящие.

Поэтому нам необходимы еще и такие правила, которые указывали бы на особую роль этих операторов, заключающуюся

в том, что они выражают в нашем формализме логические формы всеобщего и частного (экзистенциального) суждений. Эти логические формы определяют — по употребительному в логике выражению — количество (Quantitat) суждения; руководствуясь именно этим термином, мы и выбрали употребляемые нами названия: квантор всеобщности и квантор существования.

Чтобы сформулировать для кванторов соответствующие формулы и правила, мы в эвристических целях будем трактовать всеобщность как распространенную на всю индивидную область (быть может, «бесконечную») конъюнкцию, а экзистенциальную форму — как распространенную на всю индивидную область дизъюнкцию. Ввиду того, что нам здесь придется иметь дело с неявной характеризацией этих понятий, нам будет удобно обратиться к логике высказываний в ее аксиоматическом виде.

Попытаемся вспомнить формулы, с помощью которых в системе аксиом дедуктивной логики высказываний, изложенной нами в гл. III, были неявным образом введены конъюнкция и дизъюнкция. Они имеют следующий вид:

II. Формулы для конъюнкции:

III. Формулы для дизъюнкции;

Эти формулы относятся к двучленным конъюнкциям и дизъюнкциям. Соответствующие формулы можно вывести и для многочленных конъюнкций и дизъюнкций; можно вывести также законы ассоциативности и коммутативности для конъюнкции и дизъюнкции. Так, в качестве обобщения формул III) и 2) мы получим формулы следующего типа:

Пусть теперь

суть какие-либо значения переменной а. Подставим в указанные выше формулы вместо переменных

выражения

Тогда мы получим

Если мы теперь начнем толковать как конъюнкцию, распространенную на все значения переменной х, то в соответствии с только что упомянутыми формулами мы для каждого значения С переменной а должны будем иметь

Систему (вообще говоря, бесконечную), состоящую из этих формул, мы можем с учетом правила подстановки свести в одну формулу

Таким образом, эту формулу для квантора всеобщности мы вводим в качестве аналога формул II 1), 2) для конъюнкции.

Совершенно тем же рассуждением мы получаем в качестве аналога формул III 1), 2) для дизъюнкции формулу

Теперь осталось найти аналоги для формул II 3) и III 3). Сначала мы рассмотрим формулу II 3):

Обобщением ее для случая конечного числа членов конъюнкции является формула

Подставим вместо

выражения

где

суть значения переменной а. Тогда получится

Эту многочленную импликацию, зависящую от указанных значений

переменной а, мы, вообще говоря, не можем распространить на всю область ее значений, так как у нас в распоряжении нет никакого формального выражения, изображающего «бесконечную импликацию».

Тем не менее мы сможем осуществить переход ко всей индивидной области, взяв вместо формулы II 3) соответственным образом выбранное правило, а именно уже упоминавшуюся ранее схему :

Если мы здесь вместо двучленной конъюнкции снова рассмотрим многочленную, распространенную на значения

переменной а, то получим схему

Теперь в этой схеме уже можно будет произвести переход ко всей области значений переменной а. Именно, во-первых, в формуле

вместо имеющейся в ней конечной конъюнкции можно написать формулу

(Конечно, для того чтобы оказалось формулой, в не должна входить переменная х, но этого всегда можно добиться путем предварительных переименований связанных переменных.) Систему посылок этого правила мы тоже сможем распространить на всю область значений переменной а, взяв вместо конечного списка формул

формулу

которая для произвольного значения с переменной а позволяет вывести

При этом, конечно, должно выполняться одно существенное условие: переменная а не должна встречаться в формуле потому что в противном случае выражение при подстановке вместо переменной а могло бы претерпевать какие-нибудь изменения. По тем же самым причинам и в переменная а может фигурировать только на том месте или на тех местах, которые соответствуют выделенному аргументу; это условие выполняется отнюдь не всегда. Например, если равенство

мы записали сокращенно, обозначив его посредством то в зависимость от а будет касаться лишь правой части этого равенства, хотя переменная а фигурирует и в левой части его.

В соответствии со сказанным мы приходим к следующей схеме:

Однако схема эта может быть применена лишь в том случае, если формула

содержит переменную а только на месте, соответствующем выделенному аргументу (мы для краткости говорим о «месте аргумента» и

тогда, когда в качестве аргумента указано несколько таких мест), а также если связанная переменная х не входит в

Эта схема соответствует, конечно, не формуле для конъюнкции, а схеме которая, как мы установили ранее, при аксиоматическом введении конъюнкции не может быть полноценным заменителем формулы II 3). Скорее, роль такой замены могла бы играть схема :

Если мы снова в этой схеме перейдем от двучленной конъюнкции к конъюнкции, распространенной на всю область значений переменной а, то для знака всеобщности у нас получится следующая схема:

причем снова должно выполняться предварительное условие, состоящее в том, что переменная а в формуле

должна встречаться только на местах, указанных в качестве аргумента, и что связанная переменная х не должна входить в формулу

Однако можно показать, что эта схема может быть получена из приведенной выше схемы (а) в качестве производного правила: это означает, что с помощью схемы (а) и применяемых нами правил исчисления высказываний мы можем в случае выполнения упомянутых выше условий из формулы

получить формулу

Для этого нам достаточно заменить по правилу соединения посылок исходную формулу формулой

Теперь схема (а) даст нам, ввиду сделанных предположений о характере вхождений переменных формулу

а эту последнюю можно будет по правилу разъединения посылок снова преобразовать в

Ввиду того, что в основу наших рассмотрений мы уже положили исчисление высказываний (в виде теории истинностных функций), нам нужно дать неявное описание не самой конъюнкции, а ее аналога — «конъюнкции, распространенной на индивидную область».

В связи с этим мы обойдемся схемой (а) и не будем вводить вместо нее в качестве исходного правила более сложную схему с двумя посылками в импликации.

По аналогии со схемой (а) для квантора всеобщности, для квантора существования мы сформулируем следующую схему:

применение ее снова будет ограничено требованием относительно того, что переменная а должна встречаться в формуле только на местах, указанных в качестве аргумента, и что х не должно входить в

Эта схема соответствует следующей схеме для дизъюнкции:

которая, как мы установили ранее, в аксиоматической логике высказываний может играть роль полного заменителя формулы III 3).

Относительно формул и схем к которым мы пришли с помощью эвристических аналогий, можно и непосредственно констатировать, что в смысле перевода нашего формализма в содержательный план они соответствуют таким способам умозаключений, которые получаются на основе нашего понимания общеутвердительных и частноутвердительных суждений.

Формуле (а) содержательно соответствует заключение от общего к частному («dictum de omni»): «Если а — некоторый объект и для всех объектов х истинно то истинно и

Формуле (b) соответствует заключение от наличия некоторого свойства у определенного объекта к существованию объекта с этим свойством: «Если а — некоторый объект и истинно то существует объект х, для которого истинно

Не так уж непосредственно, но все же легко, из смысла слов «все» и «существует» извлекаются следующие способы умозаключений, содержательно соответствующие схемам (а) и

«Если для всякого объекта а в случае истинности истинно то в случае истинности будет истинным для всех объектов

«Если для любого объекта истинно, когда истинно то истинно, если существует х, для которого истинно

Под объектами здесь всякий раз понимаются объекты из участвующей в данном рассмотрении индивидной области.

Точности ради отметим, что формализация упомянутых четырех способов умозаключений с помощью указанных двух формул и двух схем становится действенной лишь в сочетании с правилом подстановки.