ГЛАВА IV. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ВЫВОДА II: ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

§ 1. Введение индивидных переменных; понятие формулы; правило подстановки; пример; параллель с содержательными рассуждениями

Материал предыдущей главы подготовил нас к формализации процесса логического вывода.

Мы построили особую вспомогательную дисциплину — теорию истинностных функций — и на ее основе разработали способ формализации умозаключений определенного рода. Этот способ состоит в том, что мы исходим из определенного типа формул, представляющих собой либо тождественно истинные выражения, либо символические записи некоторых посылок (аксиом), а дальнейшие формулы выводим из них, пользуясь правилом подстановки и схемой заключения.

Этот способ совершенно обходит стороной один очень существенный логический момент, а именно — отношение сказуемого к подлежащему, т.е. связь между субъектом и предикатом.

Эту связь и основывающиеся на ней способы умозаключений мы и должны теперь будем отразить в нашем формализме.

Первым шагом в этом направлении будет введение индивидных переменных. Для начала мы хотели бы связать их с теорией истинностных функций. Чтобы лучше понять суть дела, будет полезно рассмотреть одну математическую аналогию.

Если мы возьмем какое-либо формальное алгебраическое тождество, например

то справедливость его не нарушится и в том случае, если мы будем считать, что входящие в него переменные дополнительно зависят от одного или нескольких параметров, т. е. если мы, например, заменим в упомянутой формуле х и у посредством

так что получится равенство

Это равенство будет выполняться тождественно как относительно так и относительно t (здесь переменная t принимает значения в определенной числовой области, а х и у являются переменными для функций, которые всякому числу из области изменения t ставят в соответствие некоторые значения из области изменения первоначальных переменных ). Разумеется, совершенно аналогичным образом мы можем смотреть и на тождества логики высказываний, т. е. на тождественно истинные выражения. Переменные

способные принимать лишь два значения «истина» и «ложь», мы можем считать дополнительно зависящими от параметров, которые в свою очередь пробегают некоторую область значений, будь то область объектов какого-либо определенного вида или же какая-либо фиксированная индивидная область.

Этипараметры мы будем называть индивидными переменными и будем обозначать их строчными буквами латинского алфавита в отличие от переменных исчисления высказываний, обозначаемых буквами

Выражения типа

будут изображать величины, принимающие два значения; задание А осуществляется посредством некоторой функции, которая каждому допустимому значению а, соответственно сопоставляет одно из значений «истина» или «ложь». Всякая такая функция как раз и представляет собой то, что мы в гл. I называли пробегом значений предиката. Итак, введением индивидных переменных мы от логики высказываний приходим к логике предикатов.

Произведенное таким образом расширение символики немедленно позволяет нам получить из тождественно истинных выражений логики высказываний тождества некоторого нового типа. Так, например, из тождественно истинного выражения

мы можем получить выражения

которые являются тождествами в том смысле, что они тождественно принимают значение «истина» независимо от того, как

специализированы, с одной стороны, переменная А посредством какого-нибудь предиката и, с другой стороны, индивидные переменные посредством каких-либо индивидов. Действительно, при произвольной фиксации

принимают одно из двух значений, «истина» или «ложь», так что все выражение в целом принимает одно из значений выражения

а стало быть, значение «истина», поскольку это выражение является тождественно истинным.

Теперь, в свете этих соображений, мы дадим некоторую расширенную версию правила подстановки

Прежде всего мы введем понятие формулы. Формулой мы будем считать символическое изображение какого-либо переменного или постоянного высказывания, соответственно какого-либо переменного или постоянного предиката.

Это определение нуждается в уточнении путем описания формальной структуры тех выражений, которые мы будем допускать в качестве формул. Такая формальная характеризация оказывается возможной вследствие того факта, что формализацию вывода мы будем рассматривать лишь в рамках аксиоматических теорий.

В любой аксиоматической теории вводятся объекты заранее определенных типов, а также некоторые основные отношения между этими объектами. Каждое из этих отношений изображается предикатным символом с тем или иным числом аргументов, зависящим от числа фигурирующих в этом отношении субъектов, причем каждый из аргументов пробегает вполне определенную предметную область. Для объектов каждого из этих типов вводятся соответствующие индивидные переменные.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда будет иметься всего лишь один сорт объектов, так что у нас не будет надобности вводить индивидные переменные различных типов.

Элементарной формулой мы будем называть выражение, которое представляет собой либо одну из переменных либо переменную этого рода с одной или несколькими индивидными переменными, приданными ей в качестве аргументов, либо предикатный символ с относящимися к нему аргументами, либо выражение, которое получается из какого-либо

выражения перечисленных выше типов путем замены индивидной переменной именем какого-либо объекта — индивидным символом.

Формулой мы будем называть выражение, которое либо является элементарной формулой, либо получается из элементарных формул с помощью логических знаков

исчисления высказываний.

Сразу же заметим, что понятие формулы в дальнейшем будет определенным образом обобщено. Однако мы хотели бы, начиная уже с этого места, использовать слово формула в качестве вполне определенного термина и в связи с этим мы будем называть переменные

формульными переменными.

Формульные переменные с присоединенными к ним индивидными переменными мы будем называть формульными переменными с аргументами. Такие переменные будут играть роль предикатных переменных.

Внутри какой-либо формулы одна и та же формульная переменная может встречаться с различными аргументами: она будет считаться «одной и той же» в случае совпадения соответствующих заглавных латинских букв и числа аргументов. Вследствие этого соглашения формульные переменные с различным числом аргументов всегда будут рассматриваться как различные переменные.

Чтобы иметь возможность упоминать какую-либо формульную переменную с аргументами в отрыве от конкретных замещений ее аргументов, с которыми она встречается внутри тех или иных формул, мы введем понятие именной формы переменной. У именной формы в качестве аргументов будут фигурировать индивидные переменные, отличающиеся друг от друга (если их несколько) и от остальных переменных, входящих в рассматриваемые нами формулы.

Теперь мы можем сформулировать обобщенное правило подстановки. Операция подстановки, вообще говоря, будет заключаться в переходе от одной формулы к некоторой другой, отличающейся от исходной тем, что вместо определенной переменной всюду, где она встречается в исходной формуле, подставляется одно и то же выражение. Более точное определение этой операции для различных типов переменных может быть сформулировано следующим образом:

Вместо индивидной неременной может быть вновь подставлена либо индивидная переменная, либо индивидный символ.

Вместо формульной переменной без аргументов может быть подставлена любая формула.

Подстановка вместо формульной переменной с одним или несколькими аргументами производится таким образом, что сначала для именной формы этой переменной указывается некоторая формула с теми индивидными переменными, которые фигурируют в качестве аргументов в именной форме нашей переменной, а затем на каждом месте (в рассматриваемой формуле), где эта формульная переменная встречается с теми или иными аргументами, вместо нее подставляется та формула, которая получается из если вместо индивидных переменных именной формы подставить соответствующие аргументы этой формульной переменной.

Рассмотрим пример, поясняющий применение этого правила в случае формульной переменной с аргументами.

Пусть и предикатные символы, и пусть нам дана формула

Из этой формулы формула

может быть получена в результате следующей подстановки. Для формульной переменной А с двумя аргументами берем именную форму и будем подставлять вместо формулу Тогда вместо должно быть подставлено а вместо что и дает в результате искомую формулу.

К этим правилам подстановки мы добавляем наше старое правило, позволяющее брать в качестве исходной формулы любое тождественно истинное выражение логики высказываний (для краткости мы будем говорить тождественная формула), а также схему заключения

Формальное исчисление, порождаемое этими правилами, мы проиллюстрируем с помощью ряда замечаний и примеров.

В качестве непосредственного следствия нашего обобщенного правила подстановки получается, что рассуждение по правилу силлогизма мы теперь можем распространить на формулы, содержащие индивидные переменные.

Так, из двух формул

мы можем вывести формулу

а из формул

— формулу

Тем же самым способом мы можем применить к выражениям с индивидными переменными и другие преобразования, порождаемые соответствующими правилами замены.

Рассмотрим следующий пример, в котором, в частности, применяется и правило подстановки вместо индивидных переменных.

Для числового предиката «а меньше , выполняются следующие две аксиомы:

Из них требуется вывести, что

По нашим правилам этот вывод может быть осуществлен следующим образом.

Подставим во вторую аксиому вместо с переменную а:

С помощью правила разъединения посылок преобразуем эту формулу в

Теперь возьмем тождественную формулу

а подставим

вместо А и

вместо В. Это даст нам

Эта формула вместе с полученной ранее по правилу силлогизма дает

Затем по правилу перестановки посылок получается

а эта формула вместе с аксиомой

по схеме заключения дает искомую формулу

Теперь ее можно применить к конкретным числам. Пусть, например, доказано, что

Тогда отсюда мы можем вывести формулу

подставив сначала в полученную выше формулу вместо вместо что даст нам формулу

а затем применив к ней и к формуле

схему заключения, что в итоге даст

В рассмотренном нами примере формального вывода проступают некоторые черты отличия нашего формального метода от обычных содержательных рассуждений. Черты эти заключаются в следующем. Вместо всеобщих суждений о числах, которые справедливы для каждого отдельного числа, мы имеем здесь формулы с индивидными переменными; соответствующие формулы для конкретных чисел получаются из них в результате операции подстановки (в соответствии с правилом подстановки). Кроме

того, мы отклоняемся здесь от обычной формы гипотетических суждений. В самом деле, пусть, например,

— два предиката, и пусть а обозначает предмет, могущий служить субъектом (аргументом) этих предикатов. Тогда, если имеется предложение

и если, кроме того, известно, что имеет место, по правилам содержательной логики мы можем отсюда непосредственно заключить об истинности

По нашему же методу мы сначала из формулы

с помощью подстановки выводим

и только эта формула, взятая совместно с формулой позволяет нам получить по схеме заключения формулу Таким образом, этот шаг вывода следствия мы разлагаем на два: на подстановку и на применение нашей схемы заключения.

Это отклонение нашего метода от привычных способов рассуждений связано со смысловым различием между импликацией и гипотетическим суждением. Именно, формула

которую мы используем для формализации гипотетического суждения

соответствует не непосредственно этому гипотетическому суждению, а утверждению о том, что при всяком значении а импликация является истинной. Хотя оба эти высказывания равнозначны в том смысле, что всякий раз, когда имеет место одно из них, имеет место и другое, все-таки содержание их не одинаково: в то время как гипотетическое суждение в случае истинности для какого-либо объекта а выражает истинность и потому от констатации ведет непосредственно к второе из этих утверждений доставляет нам некоторое высказывание о любом объекте а (из индивидной области) независимо от того, истинно ли и это высказывание, будучи применено к а, позволяет сделать вывод об истинности лишь в соединении с высказыванием

Сказанное позволяет содержательно объяснить то разложение гипотетических умозаключений на два шага, которое происходит

в рамках нашего формального метода. С формальной стороны это разложение мотивируется тем, что при переходе от формулы

к совершающемся в силу сделанного допущения происходят два преобразования: вместо переменной а появляется имя предмета а, а затем у импликации берется лишь ее второй член.

Оба эти формальным образом осуществляемые действия в нашем формализме выполняются последовательно, друг за другом. Благодаря этому правила формального вывода приобретают известную простоту и прозрачность.