§ 4. Доказательства независимости, проводимые методом оценок

1. Логическая интерпретация как оценка; общий метод.

Доказательства различных сформулированных здесь утверждений о выводимости тех или иных формул мы можем опустить, так как в дальнейшем мы не будем пользоваться дедуктивной структурой логики высказываний. Однако мы приведем здесь доказательство того, что каждая из формул независима от всех остальных. С этой целью мы разберем некоторый общий метод, который будет применяться в этом доказательстве. К этому методу пас приводит рассмотрение того отношения, в котором находятся друг к другу дедуктивная логика высказываний и теория истинностных функций.

Если мы будем трактовать связки как истинностные функции, то для системы дедуктивной логики высказываний в том виде, как она охарактеризована формулами мы тем самым получим определенного рода интерпретацию.

При рассмотрении этой интерпретации мы можем отвлечься от той в собственном смысле слова логической точки зрения,

в результате которой формулы логики высказываний приобретают характер правил умозаключений. Здесь будет не важно, что значениями истинностных функций и их аргументов являются именно «истина» и «ложь». Важно будет лишь то, что мы будем иметь дело с вполне определенными функциями, которые, как и их аргументы, способны принимать лишь одни и те же два значения — например Определение этих функций дается нашими прежними таблицами, в которых мы заменим «истину» посредством , а «ложь» - посредством Мы можем также дать эти определения в виде некоторых равенств, а именно:

определение функции с помощью равенств будет иметь вид

определение функции 1 с помощью равенств будет иметь вид:

определения с помощью равенств будет иметь вид:

определение с помощью равенств будет иметь вид:

В соответствии со сказанным, тождественная истинность какого-либо выражения означает, что на основании приведенных определений его значение будет тождественно равно а. А рассуждение, которое убеждает нас в том, что система формул доставляет одни лишь тождественно истинные формулы, в новой абстрактной системе обозначений выглядит следующим образом.

Сначала мы убеждаемся, что выражения в силу определения и других логических знаков тождественно принимают значение а. Затем остается лишь показать, что применение правил вывода к формулам, тождественно принимающим значение а, снова приводит только к таким формулам, которые обладают этим свойством.

Для правила подстановки этот факт является непосредственно очевидным, так как в результате подстановки запас значений какого-либо выражения увеличиться не может. Что же касается схемы заключения, то мы теперь должны показать, что если выражения тождественно принимают значение а, то также тождественно принимает это же самое значение. В самом

деле, если в качестве значения принимает принимает то же самое значение, что и но согласно определению функции выражение а всегда принимает то же самое значение, что и . Таким образом, поскольку принимает в качестве значения а, это же самое значение принимает также и .

Из приведенного рассуждения, в частности, получается, что из формул никогда не могут быть одновременно выведены два выражения и второе из которых является отрицанием первого. В самом деле, если тождественно принимает значение а, то будет тождественно принимать значение

Требующаяся при таком подходе проверка того, что выражения тождественно принимают значение а, на первый взгляд кажется утомительной. Однако соответствующим разбором случаев она может быть сделана более короткой и обозримой. Продемонстрируем это на примере формулы I 3):

Пусть уже установлено, что выражения

тождественно принимают значение а. Тогда далее можно рассудить следующим образом. Среди значений, которые будут подставлены вместо по крайней мере два должны будут совпасть. Если совпадут значения то примет то же самое значение, что тогда значение рассматриваемого нами выражения I 3) окажется одним из значений выражения

т. е. а. Если же совпадут значения , то примет значение а, и так как

(а потому и всякое выражение вида а в качестве значения примет а), то получится, что

Наконец, если совпадут значения то совпадут также и значения Значит,

примет в качестве значения а, а отсюда следует, что