Главная > Основания математики (математическая логика)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. Переход к одной (в области формул, не содержащих формульных переменных) дедуктивно завершенной системе аксиом

1. Выводимость ряда верифицируемых формул в рассматриваемой системе аксиом; доказательство с помощью «цифр второго рода».

Теперь мы вернемся к нашему основному результату, который утверждает, что всякая формула без формульных переменных, построенная из введенных нами символов и выводимая средствами исчисления предикатов из аксиом

является также и верифицируемой.

Этот результат подсказывает нам вопрос о том, не имеет ли место и обратная теорема, т. е. не является ли любая построенная из введенных нами символов верифицируемая формула выводимой из упомянутых аксиом средствами исчисления предикатов.

На этот вопрос следует дать отрицательный ответ. Именно, можно указать различные примеры формул, построенных из введенных нами символов, которые, будучи верифицируемыми,

выводимыми не являются. Такова, например, формула

С одной стороны, как легко видеть, она является верифицируемой, а с другой стороны, она не может быть выведена из наших аксиом. Это можно доказать с помощью некоторой модификации метода, примененного нами для установления непротиворечивости рассматриваемой нами системы аксиом.

Мы расширим понятие цифры, введя в качестве цифр нового рода символ а и те фигуры а, которые получатся из а в результате однократного или многократного навешивания символа штриха. Эти цифры, в отличие от цифр в обычном смысле слова (цифр первого рода), мы будем называть цифрами второго рода. Это определение и название будут использоваться только в рамках излагаемого здесь доказательства. Подстановка цифр второго рода и построенных из них формул в нашем дедуктивном формализме допускаться не будет. Мы будем использовать их лишь для модификации определения понятия верифицируемости. Эту модификацию мы получим, надлежащим образом обобщив определения терминов нумерический, истинный, ложный и соответствующим образом видоизменив процедуру редукции.

Формулу мы будем называть нумерической, если она является равенством или неравенством между цифрами (первого или второго рода) или если она получается из формул этого типа с помощью связок исчисления высказываний.

Определение истинности и ложности для нумерических равенств, а также для неравенств между двумя цифрами первого рода и между двумя цифрами второго рода остается прежним; в соответствии со сказанным, неравенство считается истинным, если отлично от и является составной частью в противном случае оно считается ложным. Для неравенств между цифрой первого рода и цифрой второго рода мы соглашаемся о нижеследующем: для каждой цифры второго рода неравенство

истинно, а неравенство

ложно. Для каждой отличной от цифры первого рода и для каждой цифры второго рода неравенство

истинно, а неравенство

ложно. Исходя из определений истинности и ложности для равенств и неравенств, эти определения можно сформулировать (в точности так же, как это делалось раньше) и для случая произвольной нумерической формулы.

Для этих обобщенных определений истинности и ложности процедуру редукции можно будет видоизменить таким образом, что теорема об однозначности и теорема о частичной редукции снова окажутся верными. В самом деле, чтобы удовлетворить этому требованию, мы должны будем изменить только п. 4 процедуры редукции и подобрать соответствующие замены для выражений

с учетом изменения содержательного смысла формул, вызванного появлением цифр второго рода; в первоначальной процедуре редукции эти замены производились в соответствии с обычным содержательным смыслом формул. Теперь в случае равенства

или неравенств

мы должны различать случаи, когда на месте х или а стоит цифра первого или цифра второго рода.

Это различие мы можем формализовать, так как свойства быть цифрой первого рода и соответственно цифрой второго рода можно изобразить с помощью формул

и соответственно

Эти формулы изображают указанные свойства в том смысле, что при всякой замене переменной а цифрой первого рода первая формула переходит в истинную, а вторая — в ложную нумерическую формулу; а при каждой замене а цифрой второго рода первая формула переходит в ложную, а вторая — в истинную нумерическую формулу.

Ввиду сказанного, мы приходим к следующим изменениям в процедуре редукции.

В п. 4, где речь шла о том, чтобы переменную х всюду снабдить максимальным встречающимся числом штрихов неравенство

с числом штрихов меньшим чем мы теперь преобразуем в выражение

вместо использованного ранее выражения

а неравенство

при преобразуем в выражение

вместо использованного ранее выражения

В случае замены

вместо выражения

будет фигурировать выражение

а в случае замены

вместо

будет фигурировать выражение

кроме того, вместо каждого из конъюнктивных членов

будет стоять выражение

Теперь определение верифицируемости может быть сформулировано дословно так же, как и в предыдущем случае, но

встречающиеся в нем термины должны пониматься в измененном смысле. Тогда мы, во-первых, снова сможем констатировать, что формулы а также все формулы без формульных переменных, которые получаются из формулы в результате подстановки, являются верифицируемыми; а затем на основании теорем о редукции (справедливость которых мы обеспечили соответствующим изменением процедуры редукции) получается, что каждая формула, выводимая из рассматриваемых нами аксиом, является верифицируемой.

Отсюда следует, что формула

не может быть выведена из наших аксиом. Действительно, эта формула не является верифицируемой в смысле нашего нового определения, так как если мы заменим в ней переменную а цифрой цифрой а, то получим формулу

которая является ложной.

1
Оглавление
email@scask.ru