ВВЕДЕНИЕ

Эта книга является в некоторой мере продолжением моей "Теории групп Ли, 1", опубликованной в издательстве Princeton University Press в 1944 г. Но темы, рассматриваемые здесь, сильно отличаются от тех, которые затрагивались в "Теории групп Ли, 1", и доказательства основных теорем, содержащиеся в настоящем томе, не зависят от общей теории групп Ли.

В первой главе собран ряд определений и теорем из общей алгебры, необходимых для дальнейшего.

Вторая глава посвящена теории линейных алгебраических групп. Изучение алгебраических групп было начато в прошлом столетии Маурером в ряде мемуаров (особенно следует отметить работу "Zur Theorie der continuierlichen, homogenen und linearen Gruppen", Sitz. d. Bayer. Acad., 24, 1894); именно, Маурер указал условия, которым должна удовлетворять алгебра Ли линейной группы, для того чтобы группа была алгебраична. К этому вопросу недавно вернулись, с одной стороны, А. Ф. Туан и я, с другой — Е. Р. Кольчин; в то время как работы Маурера касались групп матриц с комплексными коэффициентами, указанные недавние работы направлены на изучение групп с коэффициентами из произвольного поля. Основная цель гл. II — показать, как классический аппарат теории Ли (соответствие между группами и алгебрами Ли) может быть использован для изучения алгебраических линейных групп над произвольным полем К характеристики 0. Так, например, если надполе конечной степени над К, то с помощью теории алгебр Ли удается определить все подгруппы мультипликативной группы поля которые, если их рассматривать как линейные группы преобразований структуры векторного пространства

над К, являются алгебраическими группами. Можно надеяться, что эти группы будут играть некоторую роль в арифметической теории поля L (это уже имеет место в случае, когда К — некоторое поле алгебраических чисел, a L - циклическое расширение К).

Многие вопросы еще остаются открытыми в теории алгебраических линейных групп. В особенности это относится к теории линейных групп над полями характеристики которая находится еще в зачаточном состоянии, главным образом из-за того, что аппарат теории Ли не дает в этом случае таких же полных результатов, как в случае характеристики 0. Тем не менее работы Е. Р. Кольчина [см. его мемуар "Algebraic matric groups and the Picard - Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations", Ann. of Math., 49 (1948)] и особенно тот факт, что ему удалось распространить теорему Ли о линейных разрешимых группах на случай характеристики , позволяют надеяться, что на этом пути будут получены важные результаты. С другой стороны, даже в случае характеристики еще неизвестно, является ли рациональным всякое многообразие алгебраической линейной группы (хотя можно доказать, что над алгебраически замкнутым полем это так).

Наконец, следовало бы полностью построить теорию алгебраических многообразий, которые являются многообразиями групп. Это было сделано А. Рейлем для случая абелевых многообразий в его книге "Varietes abeliennes et courbes algebriques" (Hermann, Paris, 1948). Случай, который он рассматривает, является как раз тем, в котором нельзя почерпнуть никаких сведений из рассмотрения присоединенной группы (так как сама группа абелева). Остается объединить его результаты с теми, которые в общем случае получаются из изучения присоединенной группы (эта последняя линейна), чтобы получить теорию всех алгебраических групп, как линейных, так и нелинейных.

Мы часто пользуемся результатами, содержащимися в уже вышедших томах "Элементов математики" Н. Бурбаки

(N. Bourbaki, Elements de Mathematique); знание гл. V книги "Алгебра" из этой серии особенно необходимо для понимания многих наших доказательств. При ссылках на "Элементы математики" мы будем писать "Бурбаки" и указывать том, параграф и п° места, к которому мы отсылаем, а также номер предложения или теоремы, о которых идет речь.

Главы, которые будут опубликованы позже, будут посвящены следующим темам: гл. III - общей теории полупростых алгебр Ли; гл. IV - классификации полупростых алгебр и их представлений; гл. V — когомологиям алгебр Ли; гл. VI — топологии групп Ли.

Я не хотел бы закончить это введение, не выразив мою признательность "Гугенхеймовскому фонду" за очень ценную для меня материальную поддержку при подготовке труда, начало которого я представляю на рассмотрение математической общественности. Я также хочу поблагодарить Ж.-П. Серра, любезно взявшего на себя чтение корректур.