§ 2. Полуинварианты

Определение 1. Элемент алгебры называется полуинвариантом множества эндоморфизмов пространства V, если собственный вектор семейства эндоморфизмов пространства т. е. если для имеет место равенство где функция, определенная на множестве со значениями в поле К. При этом говорят также, полуинвариант веса

Очевидно, что является полуинвариантом любого веса; напротив, полуинвариант, отличный от нуля, имеет определенный вес.

В случае, когда множество содержит один единственный элемент, полуинвариант множества называется также полуинвариантом элемента Если любое множество, то полуинварианты множества это те элементы из которые являются полуинвариантами всех элементов из

Предложение 1. Пусть отличный от полуинвариант некоторой группы автоморфизмов пространства V, и пусть вес этого полуинварианта. Функция является тогда ограничением на некоторой полиномиальной функции. Эта функция осуществляет гомоморфизм группы в мультипликативную группу К отличных от О элементов поля значение этой функции на всех элементах коммутанта группы равно 1.

Пусть точка пространства для которой Тогда для имеет место равенство

которое показывает, что ограничение на полиномиальной функции. Так как автоморфизм пространства то Для из имеем

так что Последнее утверждение предложения вытекает из того, что группа К абелева.

Замечание. Если полиномиальная функция, ограничение которой на совпадает с то иногда говорят, что полуинвариант веса

Если — автоморфизм пространства V, то автоморфизм кольца может быть продолжен в автоморфизм поля отношений кольца в поле рациональных функций над пространством Этот автоморфизм мы также будем обозначать через Совершенно ясно, что если автоморфизмы пространства V, то

Определение 2. Рациональная функция над пространством называется инвариантом множества автоморфизмов пространства V, если для всех

Если при этом множество состоит из единственного элемента то инвариант множества называется инвариантом элемента 5.

Предложение 2. Пусть множество автоморфизмов пространства Для того чтобы рациональная функция над пространством была инвариантом множества необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде частного двух полуинвариантов одинакового веса.

Условие, очевидно, достаточно. Предположим, наоборот, что инвариант. Выберем систему координатных функций пространства Тогда мы можем представить функцию в виде где элементы кольца причем такие, что если представить эти элементы в виде полиномов от то полиномы будут взаимно простыми. Пусть — любой элемент из тогда

Ввиду условия, наложенного на полиномиальные функции функция должна делить в кольце

Но является также инвариантом элемента так что делит следовательно, делит Мы видим, что произведение элемента на обратимый элемент кольца т. е. на некоторый скаляр Тогда так что полуинварианты одинакового веса.

Теорема 1, Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, Тогда существует конечное

множество 3 полиномиальных функций над пространством эндоморфизмов пространства V и конечное множество рациональных функций над со следующими свойствами: состоит из всех автоморфизмов пространства V, для которых все элементы из 3 — полуинварианты, состоит из всех автоморфизмов пространства V, для которых элементы из инварианты.

Для всех целых обозначим через пространство однородных элементов степени алгебры а через — сумму пространств для Каждое — конечномерное пространство, и каждый элемент из принадлежит некоторому пространству о для достаточно большого Пусть а — идеал, соответствующий группе положим

Так как алгебра изоморфна алгебре полиномов от некоторого конечного числа переменных, то идеал а обладает конечной системой образующих. Выберем раз навсегда настолько большим, что содержит систему образующих идеала а. Если — автоморфизм пространства V, то отображает каждое пространство а следовательно, также каждое пространство в себя. Множество является идеалом алгебры элемент принадлежит группе тогда и только тогда, когда этот идеал содержится в идеале а (предложение 2 из § 1). В этом случае отображает пространство в себя; если, наоборот, выполнено это последнее условие, то переводит идеал а в себя, так как содержит систему образующих идеала а. Мы видим, что является множеством всех автоморфизмов 5 пространства V, таких, что отображает пространство в себя.

Пусть внешняя алгебра над пространством и пусть — произведение в алгебре элементов некоторого базиса пространства Если размерность пространства равна то и принадлежит пространству однородных элементов степени пространства Выберем базис пространства первый элемент которого равен .

Если — эндоморфизм пространства V, то ограничение отображения на пространство может быть продолжено в унитарный эндоморфизм алгебры причем этот эндоморфизм — однородный степени 0. Обозначим через его

ограничение на пространство и положим

Если элементы пространства то так что Отсюда, в частности, следует, что

Применяя два раза предложение 10 § 4 гл. I, мы убеждаемся, что полиномиальные функции над пространством Обозначим через 3 множество функций Если I — тождественный эндоморфизм пространства V, то, конечно, так что Обозначим через множество рациональных функций

Если автоморфизм пространства V, то отображает пространство в себя тогда и только тогда, когда — собственный вектор эндоморфизма (гл. I, § 5, предложение 10), т. е. когда для . В этом случае из (1) сразу следует, что для всех выполняется равенство

т. е. элементы из 3 — полуинварианты веса а элементы из -инварианты. Пусть, наоборот, автоморфизм пространства V, для которого элементы множества 3 являются полуинвариантами. Тогда существуют скаляры такие, что для всех Положив, в частности, получаем Отсюда следует, что отображает пространство в себя, т. е. что Предположим, что автоморфизм пространства V, для которого элементы множества -инварианты. Тогда

для всех следовательно, для откуда, как выше, вытекает, что Теорема 1 доказана.

Следствие. Пусть алгебраические группы автоморфизмов пространства Если всякий элемент из являющийся полуинвариантом группы есть

также полуинвариант группы то Если всякая рациональная функция над являющаяся инвариантом группы есть также инвариант группы то

Это непосредственно следует из теоремы 1.