§ 14. Алгебраические алгебры Ли

Мы напоминаем, что характеристика поля К предполагается равной нулю.

Определение 1. Подалгебра алгебры Ли всех эндоморфизмов пространства V называется алгебраической, если она является алгеброй Ли алгебраической группы автоморфизмов пространства

Теорема 11. Пусть семейство алгебраических подалгебр алгебры Ли Тогда пересечение также алгебраическая подалгебра алгебры Если алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгеброй Ли которой является алгебра то алгебра Ли группы

Так как группа является пересечением алгебраических групп, то она сама — алгебраическая группа. Для всех имеем следовательно, алгебра Ли группы содержится во всех алгебрах Ли а потому и в алгебре Пусть, наоборот, X — элемент алгебры и пусть наименьшая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит эндоморфизм X (теорема 10 из § 13). Так как для всех мы имеем то Это показывает, что эндоморфизм X принадлежит алгебре Ли группы О. Алгебра Ли группы совпадает с алгеброй

Теорема 12. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства рациональное представление группы автоморфизмами конечномерного пространства над полем К. Пусть -алгебраическая группа автоморфизмов пространства группа элементов группы О, таких, что Тогда алгебра Ли группы состоит из тех элементов X алгебры Ли группы О, для которых принадлежит алгебре Ли группы

Как известно (предложение 3 § 4), группа алгебраическая. Ограничение представления на группу является рациональным представлением группы дифференциал которого есть ограничение дифференциала на алгебру Ли группы Отсюда следует, что если X принадлежит алгебре Ли группы то принадлежит алгебре Ли группы Пусть, наоборот, X — такой элемент алгебры Ли группы для которого принадлежит алгебре Ли группы Построим кольцо формальных рядов от переменной с коэффициентами из поля К. Тогда

(теорема 9 § 12). В силу теоремы 7 § 12 отсюда следует, что обобщенная точка группы Пусть наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит элемент Как известно, общая точка группы (теорема 10 § 13). Любая точка группы является специализацией точки Отсюда следует, что специализация точки (предложение 2 из § 6) и принадлежит группе Итак, Это показывает, что X принадлежит алгебре Ли группы Теорема 12 доказана.

Следствие. Пусть подпространства пространства причем Тогда множество элементов X пространства таках, что для всех представляет собой алгебраическую подалгебру алгебры Это алгебра группы тех автоморфизмов пространства V, для которых при всех

Пусть И — группа тех автоморфизмов и пространства для которых при всех Как мы знаем, алгебраическая группа и ее алгебра Ли состоит из эндоморфизмов пространства , отображающих (пример IV § 10). Пусть присоединенное представление группы всех автоморфизмов пространства его дифференциал сопоставляет каждому элементу эндоморфизм пространства ( (предложение 6 из § 9). Группа состоит из элементов 5 группы для которых следствие теперь непосредственно вытекает из теоремы 12.

Теорема 13. Пусть некоторая подалгебра алгебры всех эндоморфизмов пространства Тогда существует наименьшая алгебраическая подалгебра алгебры содержащая Каждый идеал алгебры является также идеалом алгебры производная алгебра алгебры оказывается также производной алгеброй алгебры

Пересечение всех алгебраических подалгебр алгебры содержащих -алгебраическая алгебра (теорема 11); это, очевидно, наименьшая алгебраическая подалгебра в содержащая Если а — идеал алгебры то множество всех для которых при всех -алгебраическая алгебра Ли (следствие теоремы 12), содержащая Следовательно, она также содержит алгебру и поэтому а — идеал в Напомним, что производной алгеброй

алгебры называется совокупность всех линейных комбинаций элементов вида где элементы из Множество всех для которых при всех есть алгебраическая алгебра Ли (следствие теоремы 12), содержащая алгебру и тем самым алгебру Но, так как алгебра содержится в множестве всех для которых при всех Это последнее множество является алгебраической алгеброй Ли (следствие теоремы 12), содержащей, следовательно, алгебру Отсюда, видно, что производная алгебра алгебры содержится в алгебре 1). Так как обратное включение очевидно, то обе производные алгебры совпадают.

Предложение 1. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть рациональное отображение группы в пространство эндоморфизмов конечномерного пространства над полем К. Предположим, что отображение всюду определено, что оно отображает тождественный автоморфизм пространства V в тождественный автоморфизм пространства и что при любом автоморфизм пространства Обозначим через И наименьшую алгебраическую группу автоморфизмов пространства содержащую множество Пусть общая точка группы Если X — элемент алгебры группы то через мы обозначим деривацию поля для которой и положим

Тогда алгеброй Ли группы будет наименьшее векторное подпространство пространства обладающее следующими свойствами: а) для всех для всех

Заметим, что, в силу предложения 2 § 6, отображение определено в точке и элемент обратим; это показывает, что данное в формулировке предложения определение элемента имеет смысл. С другой стороны, пересечение некоторого семейства подпространств пространства обладающих свойствами а) и б), также обладает этими свойствами; это оправдывает определение подпространства данное в формулировке предложения.

Пусть алгебра Ли группы Так как рациональное отображение группы в группу то из предложения 1 § 9 следует, что элемент

принадлежит алгебре с другой стороны,

[формула (1) § 9]. Это показывает, что пространство обладает свойством а). Но, с другой стороны, для всех определение 2 из § 3), так что удовлетворяет и условию б). Итак,

Как мы знаем, можно всегда найти такие обобщенные точки группы что является общей точкой группы (предложение 7 § 6); кроме того, можно предположить, что каждая точка является общей точкой группы (см. замечание после доказательства предложения 7 § 6). Пусть любой элемент из тогда существует деривация поля для которой Поле содержится в поле и так как К — поле характеристики 0, то можно продолжить в деривацию (которую мы также обозначим через поля Положим все эндоморфизмы принадлежат алгебре (предложение 4 § 8). Положим и покажем, что Так как — общие точки группы то существует изоморфизм поля на поле отображающий элементы из К в себя, а координаты точки (относительно некоторой системы координатных функций над в соответствующие координаты точки Если то изоморфизм отображает координаты точки в координаты точки

Здесь обозначает деривацию поля для которой Так как эндоморфизм принадлежит алгебре то содержится в и, тем более, в

Но линейная комбинация элементов из с коэффициентами из поля Отсюда следует, что ограничение деривации на поле является линейной комбинацией с коэффициентами из дериваций вида [легко усмотреть, что деривация поля в поле определена единственным образом своим

действием на элемент Отсюда мы можем заключить, что линейная комбинация с коэффициентами из элементов вида где итак, Покажем теперь, что точки принадлежат пространству Пусть линейная функция на равная нулю на I). Тогда существует рациональная функция 5 на такая, что

во всех точках из для которых элемент определен и обратим. Но если то из того, что К — линейная комбинация элементов из следует, что

Функция 5 обращается в нуль во всех точках группы и поэтому тождественно равна нулю, так что

Так как это верно для всех линейных функций на обращающихся в нуль на 6, то

Положим теперь

( — тождественный автоморфизм пространства Из леммы 2 § 8 непосредственно следует, что

так что Так как то так что и, следовательно, Предложение 1 доказано.

Теорема 14. Пусть семейство алгебраических подалгебр алгебры Ли Тогда алгебра Ли порожденная всеми алгебрами также будет алгебраической алгеброй. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, для которой является алгеброй Ли. Тогда наименьшая алгебраическая группа

автоморфизмов пространства V, содержащая все группы сама оказывается неприводимой и ее алгебра Ли.

Рассмотрим сперва случай, когда множество индексов конечно; тогда можно предположить, что оно состоит из целых чисел Пусть рациональное отображение

группы Совершенно очевидно, что это наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, содержащая образ группы при отображении следовательно, группа неприводима (предложение 7 § 6). Алгебра Ли группы содержит все алгебры а потому и алгебру Чтобы показать, что она совпадает с мы используем предложение 1. Заметим сперва, что если при то Действительно, алгебра Ли группы тех автоморфизмов пространства V, для которых состоит из тех эндоморфизмов для которых при всех (следствие теоремы 12). Так как алгебра Ли, то Но так как группа неприводима, то (следствие 1 теоремы 8 § 12) и, следовательно, что доказывает наше утверждение. Подобным же образом можно доказать и более общее утверждение: если надполе поля К то для всех Пусть теперь общая точка группы и пусть поле Алгеброй Ли группы является алгебра (предложение 5 § 8). Пусть элемент этой алгебры Ли Пусть деривация поля для которой

и пусть

Мы покажем, что элемент принадлежит алгебре Очевидно, Српомощью леммы 2 из § 8 легко доказывается, что

где тождественный автоморфизм пространства V). Но имеет место включение (предложение 4 из § 8). Из доказанного выше следует поэтому, что элемент

принадлежит алгебре . С помощью предложения 1 мы заключаем отсюда, что алгебра Ли группы содержится в алгебре следовательно, совпадает с Теорема 14 доказана для случая конечных множеств Переходя к общему случаю, обозначим для конечного подмножества множества через алгебру Ли, порожденную всеми алгебрами при а через наименьшую алгебраическую группу автоморфизмов пространства V, содержащую все группы при Как было показано, неприводимая группа и ее алгебра Ли. Среди всех алгебр вида пусть — некоторая алгебра наибольшей размерности. Тогда ясно, что для всех конечных подмножеств множества содержащих так как неприводимые группы, то отсюда следует, что Отсюда заключаем, что 9 и Теорема 14 полностью доказана.

Заметим, что в случае алгебраически замкнутого поля К группа о которой говорится в теореме 14, порождается группами как это легко вытекает из следствия 3 предложения 2 § 7. Мы используем это замечание для доказательства того, что в случае, когда поле К — поле комплексных чиселу всякая неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V топологически связна. Пусть такая группа, и пусть ее алгебра Ли. Для пусть наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит элемент Ясно, что и из теоремы 14 следует, что группа О порождается всеми группами для всех Легко видеть, что для доказательства связности группы достаточно показать, что все группы связны. Для доказательства же этого факта можно ограничиться случаем, когда эндоморфизм X либо полупростой, либо нильпотентный (теорема 10 из § 13). Если эндоморфизм X полупростой, то всегда можно подобрать

базис пространства V, такой, что

где а — комплексные числа. Положим (где -переменная, с помощью которой построено кольцо формальных рядов с коэффициентами из поля Группа, порожденная элементами обладает базисом состоящим из алгебраически независимых относительно поля К элементов. Эти элементы можно рассматривать как параметры некоторого собственного параметрического рационального представления группы Каждая точка группы накрывается этим параметрическим представлением, и системами допустимых значений параметров являются системы из комплексных чисел, отличных от нуля (ср. доказательство леммы 1 § 13). Пусть — элемент группы получающейся при значениях параметров; тогда Ясно, что можно подыскать непрерывных комплексных функций вещественного переменного определенных на отрезке [0, 1], таких, что Если обозначить через точку группы соответствующую значениям параметров то -тождественный автоморфизм) и кроме того, непрерывно зависит от Отсюда непосредственно следует, что в случае полупростого эндоморфизма X группа связна. Если эндоморфизм X нильпотентен, то группа состоит из элементов вида для всех комплексных а (предложение 1 из § 13) и поэтому, очевидно, связна. Наше утверждение доказано.

Теорема 15. Пусть любая подалгебра алгебры Ли Тогда производная алгебра алгебры алгебраическая. Если алгебра Ли некоторой неприводимой группы автоморфизмов пространства V, то производная алгебра алгебры является алгеброй Ли наименьшей алгебраической группы автоморфизмов пространства V, содержащей коммутант группы

Производная алгебра алгебры является также производной алгеброй наименьшей алгебраической подалгебры алгебры содержащей алгебру (теорема 13). Поэтому теорему 15 достаточно доказать для случая, когда сама алгебра алгебраическая. Пусть тогда неприводимая алгебраическая группа, для которой - алгебра Ли, и пусть

- наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, содержащая коммутант группы Ясно, что -наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая образ множества при рациональном отображении

множества в Пусть группа всех автоморфизмов 5 пространства V, для которых при всех Алгебра Ли группы состоит тогда из всех эндоморфизмов для которых при всех Она, следовательно, содержит алгебру откуда вытекает, что Итак, мы имеем для всех и всех Аналогичное рассуждение показывает, что если надполе поля то для всех и всех Пусть теперь общая точка группы и пусть элемент алгебры Ли группы При этом общие точки группы а элементы алгебры Положим и пусть деривация поля для которой

так что С помощью леммы 2 § 8 получаем

где положено и Но элементы принадлежат алгебре то же самое имеет место и для элемента а следовательно, и для

С помощью предложения 1 мы заключаем отсюда, что алгебра Ли группы содержится в Кроме того, рассматривая случай мы видим, что если — алгебра Ли группы Ну то эндоморфизм содержится в Но а — общая точка группы Действительно, если -тождественный автоморфизм пространства то обобщенная точка группы т. е. специализация точки Отсюда сразу следует, что специализация точки так как общая точка

группы то тем же свойством обладает и точка и. Пусть любой элемент алгебры и пусть деривация поля для которой Тогда и

Если линейная функция на равная нулю на то откуда следует, что

Но тогда немедленно можно заключить, что

принадлежит Так как -специализация элемента , то специализация элемента

Ясно, что всякая специализация в некоторой точки из принадлежит алгебре Поэтому так что Но вместе с этим следовательно, что и доказывает теорему 15.

Теорема 16. Предположим, что на пространстве V определена структура алгебры над полем пусть это будет алгебра А. Совокупность дериваций алгебры А является тогда алгебраической подалгеброй алгебры эта подалгебра — алгебра Ли группы автоморфизмов алгебры А.

Мы уже знаем, что алгебра Ли группы автоморфизмов алгебры А содержится в алгебре Ли дериваций алгебры А. Пусть, наоборот, X — деривация алгебры А. Построим кольцо формальных рядов от переменной с коэффициентами из поля и пусть -поле отношений этого кольца. Мы покажем, что автоморфизм алгебры Для этого достаточно убедиться, что

для всех пар элементов из А. Так как X — деривация, то для каждого целого индукцией по доказывается формула

где (тождественный автоморфизм) и сумма распространяется на пары целых чисел с суммой Так как семейство

элементов пространства V линейных комбинаций элементов из V с коэффициентами из кольца суммируемо (см. § 11), то

и эта сумма, очевидно, равна Отсюда вытекает, что обобщенная точка группы Но пусть наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит эндоморфизм Каждый элемент группы специализация точки (теорема 10 § 13) и, следовательно, принадлежит группе так что Так как X принадлежит алгебре Ли группы то он также принадлежит алгебре Ли группы Доказательство теоремы 16 закончено.

Следствие. При тех же обозначениях, что и в теореме 16, если X — деривация алгебры А, то полупростая и нилъпотентная компоненты эндоморфизма X также являются деривациями алгебры А.

Это утверждение непосредственно вытекает из теоремы 16 и из теоремы 10 § 13.

Пусть теперь X — любой элемент пространства и пусть наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит эндоморфизм Обозначим через алгебру Ли группы Пусть надполе поля Мы покажем, что наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства алгебра Ли которой содержит Что алгебра Ли группы содержит эндоморфизм X, совершенно ясно. С помощью переменной построим формальные ряды с коэффициентами из поля Пусть — кольца формальных рядов от переменной с коэффициентами из соответственно. Следовательно, кольцо V содержит подполе и подкольцо и существует линейное отображение тензорного произведения векторных пространств над полем К в для которого при всех Покажем, что

изоморфизм. Для этого достаточно убедиться, что если элементы линейно независимые относительно поля элементы из для которых 2 то

Пусть

Тогда так что

Так как элементы принадлежат полю то

Отсюда следует, что

Из этого мы заключаем, что поле и поле отношений кольца линейно свободны по отношению к полю К в поле отношений кольца (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 2, п°3, предложение 5) и, следовательно, поле и поле линейно свободны по отношению к полю К в поле Таким образом, алгебраическая размерность точки относительно поля равна алгебраической размерности этой точки относительно поля а к и, Алгебра, гл. V, § 5, п°4, предложение 10). Точка есть обобщенная точка группы так как алгебраическая размерность точки относительно поля равна размерности группы [побкольку заведомо является общей точкой группы и тем самым равна размерности группы то общая точка группы Но, с другой стороны, общая точка наименьшей алгебраической группы автоморфизмов пространства алгебра Ли которой содержит эндоморфизм Поэтому что и доказывает наше утверждение. Мы видим, что алгебра Ли наименьшей алгебраической группы автоморфизмов пространства алгебра Ли которой содержит эндоморфизм

Определение 2. Пусть X — элемент пространства , и пусть -наименьшая алгебраическая подалгебра алгебры Ли содержащая Элементы алгебры называются репликами эндоморфизма

Пусть надполе поля К. Из сказанного выше следует, что элемент X пространства является репликой эндоморфизма X тогда и только тогда, когда он является репликой эндоморфизма X, если рассматриваются как элементы пространства

Предл ожение 2. Для того чтобы подалгебра алгебры была алгебраической, необходимо и достаточно, чтобы реплика всякого элемента из принадлежала алгебре

Условие, очевидно, необходимо. Предположим, что оно выполнено. Если то пусть наименьшая алгебраическая алгебра, содержащая тогда Так как то алгебра порождается семейством всех алгебр при Отсюда вытекает, что алгебраическая алгебра Ли (теорема 14).

Предложение 3. Пусть X — элемент из Тогда каждая его реплика представима в виде полинома от X с коэффициентами из поля К с постоянным членом, равным нулю. Полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма X являются его репликами.

Пусть наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит Мы знаем, что содержится в ассоциативной подалгебре алгебры порожденной тождественным автоморфизмом и эндоморфизмом. Х (теорема 10 § 13). Так как алгебра Ли группы содержится в оболочке этой группы (предложение 6 § 8), то отсюда вытекает, что каждая реплика X эндоморфизма X представима в виде полинома с коэффициентами из К. Если X — обратимый эндоморфизм, то он удовлетворяет уравнению вида где А — полином с коэффициентами из К и постоянным членом Но тогда следовательно, полином представимы в виде полиномов от X с постоянным членом, равным нулю. Предположим теперь, что эндоморфизм X не обратим. Тогда существует вектор из V, для которого Алгебра Ли группы всех автоморфизмов 5 пространства V, для которых состоит из тех элементов пространства для которых

(пример IV § 10). Эта алгебра Ли, содержащая элемент X, содержит также Таким образом, а это показывает, что постоянный член полинома равен нулю. Второе утверждение предложения 3 непосредственно следует из теоремы 10 § 13.

Предложение 4. Пусть подалгебра алгебры Ли и пусть надполе поля К. Для того чтобы алгебра была алгебраической, необходимо и достаточно, чтобы алгебраической была алгебра

Условие, очевидно, необходимо. Предположим, что оно выполнено. Пусть X — реплика некоторого элемента X алгебры Тогда X — реплика элемента X, если эндоморфизмы рассматривать как элементы пространства Следовательно, алгебраическая алгебра в силу предложения 2.

Теорема 17. Пусть X — элемент пространства Для того чтобы эндоморфизм X был нильпотентен, необходимо и достаточно, чтобы для всех его реплик

Условие необходимо. Действительно, если X — нильпотентный эндоморфизм, то все его степени для целых также нильпотентны, так что Отсюда и из предложения 3 следует, что для каждой реплики X эндоморфизма X произведение XX есть линейная комбинация степеней эндоморфизма X с показателями Предположим теперь, что условие выполнено. Пусть алгебраически замкнутое надполе поля К. Если - наименьшая алгебраическая подалгебра алгебры содержащая X, то наименьшая алгебраическая подалгебра алгебры содержащая эндоморфизм Это показывает, что реплики эндоморфизма X в линейные комбинации с коэффициентами из реплик элемента X в пространстве 6. Если условие теоремы выполнено, то для всех реплик X эндоморфизма X в пространстве Мы видим, что при доказательстве достаточности условия можно, не ограничивая общности, предположить основное поле К алгебраически замкнутым. Пусть тогда соответственно полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма X, и пусть реплика эндоморфизма 5. Так как 5 — реплика X, то и реплика элемента X, так что

Эндоморфизм может быть представлен в виде полинома от 5 с коэффициентами из поля так как эндоморфизм 5 перестановочен с эндоморфизмом то тем же свойством обладает и эндоморфизм Так как нильпотентный эндоморфизм, то и эндоморфизм нильпотентен, так что Но так как поле К алгебраически замкнуто, а эндоморфизм 5 полупростой, то существует базис пространства V, состоящий из собственных векторов эндоморфизма 5. Положим Если мы теперь покажем, что все то это будет означать, что и теорема будет доказана. Пусть простое поле, содержащееся в поле К. Так как К — поле характеристики 0, то можно отождествить с полем рациональных чисел. Пусть векторное пространство над полем порожденное элементами поля и пусть любая линейная функция над Из предложения 2 § 13 следует, что эндоморфизм пространства V, определенный формулами реплика эндоморфизма Итак, мы имеем

Но элементы можно представить в виде линейных комбинаций с рациональными коэффициентами от некоторого числа элементов поля К, линейно независимых над полем Для каждого индекса существует линейная функция над для которой Тогда

так что поскольку элементы линейно независимы над полем Но тогда так что следовательно, что и доказывает теорему 17.

Предложение 5. Пусть I — тождественный автоморфизм пространства автоморфизм пространства V, для которого эндоморфизм нильпотентен

Тогда наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, содержащая автоморфизм есть неприводимая группа размерности 1. Если наибольшее целое число для которого то алгебра Ли группы порождается нильпотентным эндоморфизмом

Для каждого положим

Известно, что для фиксированного биномиальный коэффициент представим в виде полинома степени от Постоянный член этого полинома равен нулю, а коэффициент при равен Можно поэтому положить

где эндоморфизм, определенный в формулировке предложения 5, а некоторые эндоморфизмы пространства Пусть поле, получающееся из поля К присоединением двух алгебраически независимых над полем К элементов Положим

эндоморфизм пространства получающегося из пространства V расширением основного поля до поля Для каждого целого числа имеем Пусть элемент пространства линейная функция над тогда

— полином от с коэффициентами из поля К. Если целые числа то полином принимает значение всякий раз, когда его аргументы принимают целочисленные значения Отсюда можно заключить, что Действительно, для каждого целого имеем так как полином имеет бесконечно много корней.

Коэффициенты полинома рассматриваемые как полиномы от V с коэффициентами из являются полиномами от для которых все положительные целые числа — корни. Следовательно, все эти полиномы обращаются в нуль тождественно, так что Используем, в частности, тот факт, что коэффициент при в полиноме равен нулю. Положив получаем

так что

Последняя формула справедлива при любых поэтому

так что Отсюда, в частности, следует, что и что группа содержится в алгебраической группе алгебра Ли которой порождается элементом С другой стороны, если полиномиальная функция на равная нулю на то

для всех целых Так как полином от Ту то этот полином тождественно равен нулю, и обращается в нуль на группе Это показывает, что

Теорема 18. Каждый автоморфизм пространства V может быть однозначным образом представлен в виде произведения где автоморфизмы, обладающие следующими свойствами: — полупростой автоморфизм; нильпотентный эндоморфизм тождественный автоморфизм); автоморфизмы перестановочны. При этом соответственно полупростая и нильпотентная компоненты автоморфизма представимы в виде полиномов от автоморфизма с коэффициентами из поля К. Всякая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, содержащая содержит также автоморфизмы

Пусть соответственно полупростая и нильпотентная компоненты автоморфизма 5. Покажем, что и автоморфизм пространства Так как эндоморфизмы

перестановочны, то пространство V тех для которых и допустимо по отношению к эндоморфизму Эндоморфизм нильпотентен; если бы пространство то существовал бы такой вектор для которого Но тогда что невозможно, так как 5 — автоморфизм. Таким образом, что и показывает, что эндоморфизм и обратим. Если теперь положить и эндоморфизмы обладают требуемыми свойствами. Обратно, если мы обозначим через какие-нибудь автоморфизмы пространства V, удовлетворяющие условиям теоремы 18, то автоморфизм и перестановочен с так что эндоморфизм нильпотентен и также перестановочен с и. Из теоремы 7 § 8 гл. I тогда следует, что полупростая и нильпотентная компоненты автоморфизма т. е. что однозначно определены и представимы в виде полиномов от 5 с коэффициентами из поля К.

Пусть (ассоциативная и коммутативная) алгебра эндоморфизмов пространства V, представимых в виде полиномов от с коэффициентами из поля и пусть множество обратимых элементов из и. Для каждого умножение на их в алгебре и определяет эндоморфизм векторного пространства и, не отображающий ни один элемент в нуль; этот эндоморфизм отображает пространство и на себя. Так то и так что множество группа. Пространство и обладает базисом вида если алгебраически независимые относительно поля К элементы, то и состоит из всех специализаций точки Отсюда мы непосредственно заключаем, что неприводимая алгебраическая группа; ее алгебра Ли содержится в оболочке группы следовательно, в и. (Впрочем, легко убедиться, что Чтобы показать, что всякая алгебраическая группа, содержащая содержит также автоморфизмы конечно, можно ограничиться случаем Пусть теперь наименьшая алгебраическая группа, содержащая Это неприводимая алгебраическая группа размерности 1, алгебра Ли которой порождается нильпотентным элементом представимым в виде полинома, от с коэффициентами из поля К (предложение 5). Так как размерность группы равна 1, то она не конечна, так что и порядок элемента бесконечен.

Элементы алгебры перестановочны с элементами алгебры из теоремы 14 следует, что алгебра Ли алгебраической группы содержащей элементы и тем самым автоморфизм Все элементы алгебры — полупростые (предложение 4 § 8 гл. I); тем же свойством обладают, следовательно, и элементы группы и алгебры Пусть наименьшая алгебраическая группа, содержащая тогда и алгебра Ли группы содержится в Покажем, что она не содержится в Пусть компонента единицы группы группа конечна, и для некоторого Имеем полупростой эндоморфизм, - нильпотентный эндоморфизм и перестановочен с Кроме того, как мы уже отметили выше. Следовательно, эндоморфизм не полупрост, так что не содержится в группе а потому и не содержится в алгебре Пусть -элемент из не содержащийся в Имеем нильпотентный эндоморфизм, перестановочный с эндоморфизмом Отсюда следует, что -нильпотентная компонента эндоморфизмах, так что поскольку алгебраическая алгебра. Но так как не содержится в алгебре Поэтому так что следовательно, Доказательство теоремы 18 закончено.