§ 8. Алгебра Ли алгебраической группы

Пространство 6 эндоморфизмов пространства V можно рассматривать как алгебру Ли над полем операция в которой определена формулой Эту алгебру Ли мы будем обозначать через Если надполе поля К, то алгебра получающаяся из алгебры расширением основного поля, очевидно, совпадает с алгеброй

В дальнейшем нам придется рассматривать различные поля и кольца, содержащие поле К в качестве подполя. Условимся раз навсегда, говоря о деривациях такого поля или кольца, подразумевать их деривации как алгебр над полем К. Так как всякая деривация переводит элемент 1 в 0, то все рассматриваемые нами деривации отображают элементы поля К в 0.

Каждому элементу можно поставить в соответствие эндоморфизм пространства 6, определенный формулой Отображение линейно, и для любых из 6 мы имеем . С другой стороны, каждому эндоморфизму пространства можно сопоставить деривацию поля рациональных функций над пространством 6, естественно соответствующую этому эндоморфизму (гл. I, § 4, определение 5).

Определение 1. Если то через мы обозначим деривацию поля рациональных функций над пространством 6, естественно соответствующую эндоморфизму пространства

Отображение пространства 6 в пространство дериваций поля линейно, и для элементов из 6 имеем

Эти свойства вытекают из соответствующих свойств отображения и из результатов § 4 гл. I.

Если рациональная функция над пространством определенная в точке и если то функция также определена в точке 5 и

(ср. гл. I, § 4, предложение 9); в частности, для линейной функции и над имеем

Пусть надполе поля рациональная функция над Временно обозначим через рациональную функцию над пространством продолжающую функцию Пусть X — элемент пространства он является также и элементом пространства Покажем, что рациональная функция над пространством продолжает рациональную функцию над Действительно, пусть 5 — точка пространства в которой функция определена. Функции принимают в точке 5 значения соответственно. Согласно предложению 3 § 6 гл. I, эти значения совпадают, что и доказывает наше утверждение. Следовательно, ничто нам не препятствует и впредь отождествлять рациональные функции над пространством с продолжающими их функциями над пространством При таком отождествлении формулы (1) и (2) остаются справедливыми для точек 5 пространства [при условии, что в случае формулы (1) функция определена в точке эти формулы также справедливы, если X — элемент пространства

Пусть автоморфизм пространства . В § 1 мы сопоставили автоморфизму автоморфизм поля определяемый следующим образом: для обозначает ту функцию, которая получается последовательным применением отображения пространства в себя и отображения Подобным же образом можно определить автоморфизм поля который переводит всякую функцию в функцию, получающуюся в результате последовательного выполнения отображения Покажем, что для и для автоморфизма пространства V имеют место следующие соотношения:

Так как автоморфизмы поля то обе части каждого из этих равенств представляют собой деривации поля Так как поле порождается полем К и линейными функциями над то достаточно проверить для каждой из этих формул, что обе ее части приводят к одному и тому же результату при применении к линейным функциям и пространства Такую проверку легко произвести с помощью формулы (2) и формул

Заметим, что формулы (3) и (4) остаются справедливыми для случая, когда и автоморфизм пространства где надполе поля К.

Пусть теперь векторное пространство над К. Пространство рациональных отображений пространства в пространство является тензорным произведением Для мы будем обозначать через также эндоморфизм пространства равный тензорному произведению эндоморфизма пространства и тождественного отображения пространства Пусть базис пространства Представим элемент из в виде где тогда Исходя из этого равенства, легко доказать следующие результаты: отображение пространства в пространство эндоморфизмов пространства линейно; для из имеет место равенство формулы (1), (2), (3), (4) остаются справедливыми [при этом в обозначает рациональное отображение пространства в пространство определенное в точке в (2) и — линейное отображение пространства в пространство соответственно тензорные произведения автоморфизмов пространства на тождественное отображение пространства С другой стороны, если надполе поля точка пространства точка пространства автоморфизм пространства то формула (1) остается справедливой, если функция определена в точке справедливыми остаются также формулы (3) и (4).

Если а — векторное подпространство алгебры то из формулы

непосредственно следует, что совокупность для которых отображает пространство а в себя, является подалгеброй алгебры Ли

Определение 2. Пусть О — алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть а — идеал, соответствующий группе Подалгебра алгебры состоящая из тех элементов X, для которых отображает идеал а в себя, называется алгеброй Ли группы

Предложение 1. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства обобщенная точка группы Каждое из следующих условий необходимо и достаточно для тогоу чтобы элемент X пространства принадлежал алгебре Ли группы G:

а) для всех элементов идеала а, соответствующего группе

Имеем (5); если X принадлежит алгебре Ли группы и если а, то так что Это показывает, что условие а) необходимо. Обратно, предположим, что это условие выполнено. Пусть надполе поля такое, что и пусть точка группы Из формулы (4) следует, что

Если то, очевидно, принадлежит идеалу соответствующему группе состоящему из линейных комбинаций элементов из а с коэффициентами из поля Из условия а) вытекает, что так что

Но каждая точка группы может быть представлена как произведение вида где Следовательно, функция равна нулю в каждой точке группы и принадлежит идеалу а, так что Так как функция получается последовательным применением отображения и отображения то из формулы (7) § 4 гл. I следует, что

Но автоморфизм отображает идеал в себя. Для того чтобы было выполнено условие б), необходимо достаточно, чтобы выполнялось равенство при всех (здесь обозначает единицу группы О). Однако при изучении условия а) мы видели, что это условие равносильно тому, что X принадлежит алгебре

Следствие. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть алгебраическая подгруппа группы О. Тогда алгебра Ли группы И содержится в алгебре Ли группы О.

Пусть единица группы О. Если элемент алгебры Ли группы то для всех полиномиальных функций над равных нулю на группе и тем самым для всех полиномиальных функций, равных нулю на группе Это показывает, что X прйнадлежит алгебре Ли группы

Предложение 2. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства алгебра Ли группы надполе поля Алгеброй Ли группы является тогда алгебра получающаяся из алгебры расширением основного поля.

Пусть а — идеал, соответствующий группе идеал, соответствующий группе состоит из линейных комбинаций элементов из а с коэффициентами из поля Для того чтобы элемент X из принадлежал алгебре Ли группы необходимо и достаточно, чтобы для всех (где - единица группы Но для линейная функция на пространстве является продолжением некоторой линейной функции на пространстве Решения в системы уравнений (для а) — линейные комбинации с коэффициентами решений этой системы, принадлежащих пространству что и доказывает предложение 2.

Предложение 3. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства алгебраическая компонента единицы группы Тогда алгебра Ли группы совпадает с алгеброй Ли группы

Из следствия предложения 1 вытекает, что алгебра Ли группы содержится в алгебре Ли группы Пусть X — элемент алгебры Ли группы и пусть полиномиальная

функция над равная нулю на Пусть единица группы Тогда существует полиномиальная функция на пространстве такая, что обращается в нуль на (теорема 2 из § 3). Имеет место равенство

Так как то Это показывает, что X принадлежит алгебре Ли группы

Пусть теперь О — неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства Пусть поле рациональных функций над пространством и пусть множество рациональных функций над имеющих след на группе О (т. е. таких функций, которые определены по крайней мере в одной точке группы О). Если принадлежат то по меньшей мере в одной точке группы О функции определены одновременно. Отсюда легко заключить, что множество под кольцо поля Отображение, сопоставляющее каждому элементу кольца его след на группе О, является, очевидно, гомоморфизмом кольца на поле рациональных функций на группе Пусть ядро этого гомоморфизма. Разумеется, пересечение идеал а, соответствующий группе Пусть элемент из его можно представить в виде где принадлежат Тогда так что и

Мы видим, что идеал, порожденный идеалом а в кольце 21. Пусть X — элемент алгебры Ли группы Деривация поля отображает кольцо в себя [так как если функция определена в точке то в той же точке определена и функция Кроме того, отображает в себя идеал а и, следовательно, также идеал Так как изоморфно мы получаем деривацию поля со следующим свойством: если элемент из след на группе элемента из то след на элемента Пусть теперь векторное пространство над полем Пространство рациональных отображений группы является тензорным произведением Для элемента X алгебры Ли группы через мы обозначим также линейное отображение пространства в себя, являющееся тензорным произведением построенной нами деривации поля на тождественное отображение пространства Легко доказать следующие свойства оператора

Отображение алгебры группы в пространство эндоморфизмов пространства линейно, и для из имеет место равенство если рациональное отображение группы О в пространство определено в точке группы то в той же точке определено отображение если рациональное отображение группы О в пространство является следом рационального отображения пространства то след на отображения пусть точка группы для рационального отображения группы в пространство обозначим через отображения, получаемые последовательными применениями отображений группы в себя и отображения тогда указанные выше формулы (3) и (4) остаются верными для отображения пространства в себя, соответствующего элементу X алгебры [заметим, что из формулы (4), примененной к оператору непосредственно следует, что для

Пусть, с другой стороны, надполе поля рациональное отображение группы в пространство продолжающее рациональное отображение группы Всякий элемент X алгебры принадлежит также алгебре Ли группы как непосредственно видно, отображение продолжает отображение Ничто, следовательно, не мешает отождествлять отображение с отображением При этом формулы (3) и (4) остаются справедливыми для

Пусть теперь надполе поля точка пространства Пусть заданная деривация поля Тогда существует одна только одна точка пространства такая, что для всех линейных функций и над пространством V (при этом мы отождествляем и с линейной функцией над продолжающей линейную функцию и над V). Действительно, в качестве можно выбрать, образ точки х при отображении пространства которое является тензорным произведением отображения поля и тождественного отображения пространства V в себя. Единственность точки очевидна.

Определение 3. Пусть надполе поля точка пространства и деривация поля Через мы будем обозначать точку пространства такую, что и для всех линейных функций и над пространством V

Легко заметить, что для всех

Лемма При таких же обозначениях, как в определении 3, пусть рациональная функция над пространством отождествим эту функцию с продолжающей ее рациональной функцией над Если функция определена в точке х, то

Рациональные функции над пространством V, определенные в точке X, образуют подкольцо поля рациональных функций над V, и отображение : является гомоморфизмом кольца в поле Из определения дифференциалов следует, что отображение является косой деривацией типа кольца 9 в поле То же самое, очевидно, имеет место и для отображения Обе эти косые деривации совпадают на множестве линейных функций над пространством V и, следовательно, также на алгебре полиномиальных функций над V (следствие предложения 3 § 3 гл. I). Существуют элементы из такие, что Отсюда

и

Из этого непосредственно следует, что

Из определения легко вытекает, что для имеет место равенство При можно положить так что Но тогда легко заключить, что

Лемма 2. При тех же обозначениях, что и в определении 3, предположим, что на пространстве V определена структура алгебры над полем тогда алгебра над полем Для х и у из имеем

Если V — алгебра с единицей и если обратимый элемент

Положим где принадлежат полю алгебре Тогда

так что

Если обратимый элемент, то и мы получаем вторую формулу леммы 2.

Замечание. Если то и из леммы 2 следует, что

Деривации поля соответствует также отображение пространства в себя.

Лемма 3. Пусть надполе поля деривация поля — элемент пространства и элемент пространства Тогда

Пусть сперва Если и — линейная функция над пространством У, то отображение линейная функция над пространством для всех Имеем

так что Так как то лемма 3 доказана для этого частного случая. В общем случае положим

и Тогда так что

Предложение 4. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства надполе поля точка группы Пусть алгебра Ли группы Если -деривация поля то точка принадлежит алгебре Ли группы Предположим, кроме того, что группа неприводима и что -общая точка группы Тогда для каждого существует одна и только одна деривация поля для которой

Пусть а - идеал, соответствующий группе О, и пусть любой элемент из а. Имеем [это вытекает из леммы 1 и из того, что Согласно предложению 1, отсюда следует, что принадлежит алгебре Предположим теперь, что группа О неприводима и что 5 — общая точка группы Пусть поле рациональных функций над Отображение является тогда изоморфизмом поля на поле Пусть -элемент из Оператор есть деривация поля Изоморфизм сопоставляет ему деривацию поля Если — линейная функция над пространством то [ср. формулу (2)]. Поэтому имеем так что Но деривации поля образуют векторное пространство над полем Отсюда заключаем, что для каждого существует деривация поля для которой Эта деривация однозначно определена. Действительно, из равенства вытекает, что для всех линейных функций и над и наше утверждение следует из того, что поле порождается полем К и элементами вида и

Теорема 5. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Тогда размерность алгебры Ли группы равна размерности группы

Пусть алгебраическая компонента единицы группы Группы имеют, по определению, одинаковую

размерность, а алгебры Ли этих групп совпадают (предложение 3). Следовательно, теорему 5 достаточно доказать для случая неприводимой группы Пусть — общая точка группы Используя обозначения и результаты предложения 4, мы убеждаемся, что отображение изоморфизм пространства на векторное пространство над полем состоящее из дериваций поля Но поле изоморфно полю рациональных функций над группой О и поэтому сепарабельно над полем К (следствие предложения 2 из § 5). Размерность пространства дериваций поля равна, следовательно, степени трансцендентности поля над полем К (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 9, п° 3, теорема 2), т. е. равна размерности группы Это доказывает теорему 5.

Следствие. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства алгебраическая группа группы О. Для того чтобы индекс подгруппы в группе был конечен, необходимо и достаточно, чтобы алгебра Ли подгруппы совпадала с алгеброй Ли всей, группы

Подгруппа конечного индекса в группе О тогда и только тогда, когда ее размерность равна размерности группы (предложение 4 § 6). Следствие сразу вытекает теперь из теоремы 5 и из того факта, что алгебра Ли группы является подалгеброй алгебра Ли группы О (следствие предложения 1).

Предложение 5. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем и пусть алгебраические группы автоморфизмов пространств соответственно. Алгебра Ли группы является тогда произведением алгебр Ли групп

Замечание, В этой формулировке произведение отождествляется с множеством эндоморфизмов пространству вида где

Пусть алгебраические компоненты единиц групп Группа неприводима (предложение 2 § 3) и, разумеется, является подгруппой конечного индекса в группе следовательно, это алгебраическая

компонента единицы группы G X G (теорема 2 § 3). Предложение 3 показывает, что предложение 5 достаточно доказать для случая неприводимых групп Пусть в этом случае поля рациональных функций над группами Пусть элемент алгебры этому элементу соответствует деривация поля Пусть линейное отображение произведения в себя, являющееся тензорным произведением отображения и тождественного отображения поля на себя; тогда, если то

Легко проверить, что деривация алгебры поле рациональных функций над группой Временно отождествим тензорное произведение с подалгеброй поля соответствующей ему при изоморфизме предложения 2 § 4; является тогда полем отношений алгебры и деривация может быть продолжена в деривацию поля которую мы вновь обозначим через Существует общая точка группы в пространстве для которой при всех (см. замечание к доказательству теоремы 4 из § 6). Пусть а — линейная функция над пространством функция, индуцированная функцией а на группе О. Тогда

и, следовательно, С другой стороны, если а — линейная функция над пространством эндоморфизмов пространства V, то Но для всякой линейной функции над пространством эндоморфизмов пространства ее ограничение на группу является суммой выражений вида и Отсюда заключаем, что

и, следовательно,

Если алгебра Ли группы то из предложения 4 следует, что элемент принадлежит алгебре

Так как элемент принадлежит пространству эндоморфизмов пространства то он лежит в Равным образом для всех Так как то Но из теоремы 5 следует, что размерности алгебр равны размерностям групп соответственно, а предложение 6 § 6 показывает, что размерность группы равна сумме размерностей групп Так как размерность алгебры сумма размерностей алгебр то алгебры имеют одну и ту же размерность и, следовательно,

Если алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, то элементы из представимые в виде линейных комбинаций элементов из образуют подалгебру ассоциативной алгебры

Определение 4. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Под оболочкой группы мы будем понимать совокупность линейных комбинаций элементов группы

Предложение 6. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Алгебра Ли группы содержится тогда в оболочке группы

Обозначим через А оболочку группы Пусть надполе поля К. Покажем сперва, что оболочка группы совпадает с алгеброй получающейся из алгебры А расширением основного поля. Так как содержится в алгебре то ясно, что содержится в оболочке группы Пусть теперь и — линейная функция на , обращающаяся в нуль на А. Тогда и принадлежит идеалу, соответствующему группе Отсюда следует, что функция и, рассматриваемая как линейная функция над пространством обращается в нуль на группе следовательно, на оболочке группы Это показывает, что оболочка группы совпадает с алгеброй Выберем теперь общую точку 5 алгебраической компоненты единицы группы и пусть Если X — элемент алгебры Ли группы то существует деривация D поля , такая, что Так как то можно положить и

Имеем так что следовательно, Но тогда что и доказывает предложение 6.

Позже мы докажем, что в случае поля К характеристики нуль и неприводимой группы оболочка группы порождается (как ассоциативная алгебра) элементом 1 и элементами алгебры Ли группы Этот результат не всегда имеет место в случае полей характеристики