§ 11. Экспоненциалы

Начиная с этого места и до конца главы мы будем предполагать, что характеристика поля К равна 0.

Пусть кольцо формальных степенных рядов от переменных с коэффициентами из К. Элемент а из определяется заданием последовательности где однородный полином степени с коэффициентами из поля К. Если (т. е. если по меньшей мере один из полиномов не равен нулю), то через мы обозначим число где наименьшее целое число 0, для кбторого для положим Легко проверяется, что функция обладает следующими свойствами:

Для всех имеет место неравенство равенство выполняется только тогда, когда для элемента из К имеет место равенство для из справедливы соотношения

Для из положим Тогда и равенство эквивалентно для и с из имеем

и тем более

Функция имеет все свойства расстояния на множестве (Бурбаки, Общая топология, гл. IX, § 2, n° 1, определение 1); она определяет на множестве структуру метрического пространства и тем самым топологию. Согласно одному предложению Бурбаки (Общая топология, гл. IX, § 3, п°2, предложение 3), эта топология определяет на аддитивной группе кольца структуру метризуемой группы. Так определенная метризуемая группа полна. Действительно, в кольце выполняется следующее условие, из которого вытекает полнота метризуемой аддитивной группы, но которое значительно сильнее: если последовательность элементов из такова, что расстояние стремится к при то последовательность сходится. Действительно, пусть последовательность полиномов, определяющая элемент Для каждого индекса существует такой индекс что при Таким образом, для Положим тогда для Последовательность определяет некоторый элемент а из Пусть целое число если по меньшей мере равно наибольшему из чисел для то и доказывает сходимость последовательности к элементу а.

Заметим, что если -элементы из то

действительно, это неравенство имеет место при и доказывается немедленно для общего случая индукцией по Покажем, что каждая сходящаяся к нулю последовательность элементов из суммируема (ср. Бурбаки, Общая топология, гл. III, § 4. п°1, определение 1). Действительно, для каждого целого существует по условию

целое число такое, что при Если целые числа то

суммируемость последовательности вытекает отсюда в силу признака Коши (Бурбаки, Общая топология, III, § 4, п°2, теорема 1). В частности, если элемент а из определяется последовательностью полиномов, то последовательность суммируема и сумма ее, очевидно, равна а, так что мы можем употреблять запись

Заметим, наконец, что для элементов из имеет место соотношение

Это показывает, что топология в кольце согласована с умножением, так что топологическое кольцо.

Напомним, что мы условились через V обозначать конечномерное векторное пространство над полем К. Пусть -поле отношений кольца через мы обозначим множество элементов из представимых в виде линейных комбинаций элементов из V с коэффициентами из Пусть V — пространство, Дуальное к каждая линейная функция может быть продолжена в линейную функцию над мы вновь обозначим ее через и. Ясно, что и отображает пространство V в Пусть элемент из если — любой элемент из V, то или равен 0, или имеет вид где некоторое целое число Отсюда следует, что в совокупности элементов для всех имеется наибольший элемент; мы обозначим его через Если мы представим х в виде линейной комбинации элементов из V с коэффициентами из то для будем иметь

так что

Отсюда следует, что самое большее равно наибольшему из чисел Кроме того, если линейно

независимы, то точно равно наибольшему из чисел В самом деле, в этом случае для каждого существует элемент V, для которого и О при ; тогда откуда что и доказывает наше утверждение.

Функция на очевидно, обладает следующими свойствами:

равенство эквивалентно равенству если элемент из V, то

для имеем если то

Отображение произведения в множество вещественных чисел, как мы видим, является расстоянием на множестве на аддитивной группе V она определяет структуру топологической метризуемой группы. Пусть базис пространства Представим элемент в виде

Тогда Для того чтобы вещественное число необходимо и достаточно, чтобы для всех Отсюда непосредственно следует, что отображение изоморфизм топологической группы на произведение экземпляров топологической группы Отсюда мы сразу заключаем, что -полная топологическая группа (Бурбаки, Общая топология, гл. II, § 5, предложение 4). Рассуждая так же, как и в случае группы мы убеждаемся, что всякая последовательность элементов из сходящаяся к 0, суммируема в К.

Если деривация поля то ей соответствует отображение пространства в себя, определенное условием и при (определение 3 § 8). Если отображает в себя, то оператор пространства отображает подмножество в себя; если индуцирует непрерывное отображение множества в себя, то и отображение модуля V в себя непрерывно. В этом легко убедиться, рассмотрев при тех же обозначениях, что и выше, представление

В частности, для этом случае мы положим кольцо обладает непрерывной деривацией отображающей в 1; эта деривация определяется формулой

Так определенную деривацию мы будем называть деривацией по в кольце

Предположим теперь, что на пространстве V определена структура алгебры над полем К. При расширении основного поля до поля она определяет структуру алгебры над полем на векторном пространстве при этом ясно, что подмодуль замкнут по отношению к умножению в алгебре Покажем, что для х и у из имеет место неравенство

Пусть — базис пространства Положим

где коэффициенты принадлежат кольцу Тогда

причем элементы принадлежат алгебре V, так что

Но так что Из формулы (1) и из неравенства для всех следует, что

для из следовательно, умножение в алгебре непрерывно.

Предположим, что алгебра V обладает единицей и ассоциативна. Если то для всех целых Поэтому для последовательность суммируема. Как обычно, положим для всех Положим теперь для всех элементов из для которых

Покажем, что для элементов х и у из для которых и , имеет место равенство

Произведение (ехру) является суммой суммируемого семейства

Но так как , то для всех О имеем

Отсюда следует, что

это и доказывает формулу (2). В частности, если то Это показывает, что элемент обратим.

Пусть теперь -деривация кольца t. Покажем, что если и элемент х перестановочен с элементом то

Действительно, так как элементы перестановочны, то из леммы 2 § 8 мы немедленно заключаем, что

с другой стороны, имеем Отсюда вытекает формула (3).

Пусть теперь -пространство эндоморфизмов векторного пространства На 6 определена структура ассоциативной алгебры. Пространство мы отождествили с пространством эндоморфизмов пространства Ясно, что состоит .из тех эндоморфизмов пространства которые отображают модуль V в себя, Для и имеем Действительно, положим

где

Тогда

причем элементы принадлежат пространству Отсюда можно заключить, что не больше наибольшего из чисел Но мы можем предположить элементы линейно независимыми, и тогда равным образом, если предположить элементы линейно независимыми, то откуда Из всего этого можно вывести, что если принадлежат принадлежат то а это показывает, что отображение произведения в непрерывно.

Мы выведем сейчас несколько свойств для случая которые нам понадобятся в дальнейшем. Итак, пусть обозначает кольцо формальных степенных рядов от одной переменной с коэффициентами из поля К.

Лемма 1. Если а — идеал для некоторого имеет место равенство

Все числа из а имеют вид где целое число Пусть наибольшее из этих чисел, и пусть — элемент из а, для которого Тогда, как легко видеть, где с — элемент из для которого Семейство суммируемо в очевидно,

отсюда следует, что Для всех имеем элементы делимы на в кольце и, следовательно,

Лемма 2. Пусть элементы из поля К, и пусть

Пусть базис аддитивной группы, порожденной в поле К элементами Положим

Элементы порождают подгруппу мультипликативной группы обратимых элементов кольца образуют базис этой подгруппы. Элементы алгебраически независимы над К.

Как нам известно, элементы обратимы и

тем самым эти элементы порождают в мультипликативной группе обратимых элементов кольца некоторую подгруппу. Для любых целых чисел имеет место равенство

как это легко следует из формулы (2). Но каждый элемент является линейной комбинацией с целыми коэффициентами от элементов обратно, каждый элемент а представим в виде линейной комбинации элементов с целыми коэффициентами; поэтому элементы с одной стороны, и элементы с другой, порождают одну и ту же мультипликативную группу. Прежде чем доказывать утверждение, что образуют базис этой группы, установим алгебраическую независимость элементов относительно поля К. Для любой последовательности целых чисел имеем

С другой стороны, если для двух систем целых чисел имеет место равенство Достаточно поэтому показать, что если различные элементы поля полиномы с коэффициентами из то из

следует

Последнее утверждение будем доказывать индукцией по Для оно очевидно. Пусть и предположим, что утверждение уже доказано для Запишем наше равенство в виде

Пусть определенная выше деривация по в кольце Если -полином степени то полином или имеет степень или равен нулю. Кроме того, в силу формулы (3),

так что

где такой полином, что полином имеет меньшую степень, чем полином (если ), или равен нулю. Но для достаточно большого показателя имеет место равенство Следовательно, выполняется равенство вида

где такой полином, что полином (в случае имеет меньшую степень, чем или же равен нулю. Но элементы

все различны, и из предположения индукции следует, что Так как

то это означает, что [в случае старший коэффициент полинома совпадал бы со старшим коэффициентом полинома ]. Так как , то что и доказывает наше утверждение для Пусть теперь целые числа, для которых Положим

тогда причем для каждого один из неотрицательных показателей и равен нулю. Из алгебраической независимости элементов относительно поля К следует, что для всех у, так что Этим доказано, что элементы образуют базис мультипликативной группы, порожденной элементами

Лемма 3. При тех же обозначениях, что и в лемме 2, существует гомоморфизм кольца на кольцо переводящий и элементы поля К в себя, а элементы в единицу.

Так как элементы алгебраически независимы над полем то существует гомоморфизм кольца на отображающий и элементы поля К в себя, а элементы в 1. Этот гомоморфизм может быть продолжен в гомоморфизм кольца

(гл. I, § 7, лемма 1); ограничение этого последнего гомоморфизма на кольцо обладает, очевидно, требуемыми свойствами.

Лемма 4. При тех же обозначениях, что и в лемме 2, пусть поле рациональных функций от переменных с коэффициентами из поля К. Пусть идеал кольца

состоящий из рациональных функций этого кольца, для которых Тогда идеал порождается элементами вида где пробегает множество систем из целых чисел, для тторых

Пусть целые числа, удовлетворяющие уравнению Тогда

так что Пусть идеал, порожденный элементами указанного вида. Обозначим через класс элемента Идеал содержится в идеале с другой стороны, ядро гомоморфизма кольца 3 на кольцо

Но тогда существует гомоморфизм кольца на отображающий элементы поля К в себя, а Для доказательства что достаточно убедиться, что изоморфизм. Так как то обратимый элемент в Пусть подгруппа мультипликативной группы обратимых элементов кольца порожденная элементами и пусть аналогичная группа в кольце порожденная элементами Если для целых выполняется соотношение то также таким образом, гомоморфизм индуцирует изоморфизм группы на группу Но группа порождается также элементами из алгебраической независимости элементов относительно поля К непосредственно следует линейная независимость относительно К элементов порожденной ими группы Для каждого пусть элемент группы отображаемый на гомоморфизмом Ясно, что все элементы кольца являются линейными комбинациями с коэффициентами из К элементов вида (для ). Так как элементы группы линейно независимы относительно поля К в кольце то отсюда сразу следует, что отображение изоморфизм, и лемма 4 доказана.

Лемма 5. При таких же обозначениях, как в лемме 4, идеал может быть охарактеризован как совокупность элементов кольца таких, что для всех систем из элементов поля К, обладающих следующим свойством: для всех систем целых чисел, таких, что

Ясно, что для всех систем элементов из К, обладающих указанным свойством, имеет место равенство при всех Пусть теперь элемент кольца 3» не принадлежащий идеалу Существует изоморфизм кольца на кольцо

отображающий элементы поля К в себя, а элементы . С другой стороны, согласно лемме 2,

Следовательно, можно положить где рациональная функция с коэффициентами из К от 5 переменных принадлежащая кольцу

Так как К — бесконечное поле, то всегда можно найти 5 отличных от нуля элементов из таких, что о (так то, конечно, . Элементы алгебраически независимы над и поэтому существует гомоморфизм кольца в поле отображающий элемент а элементы К в себя. Этот гомоморфизм может быть продолжен, в силу леммы 1 § 7 гл. I, в гомоморфизм кольца в поле К. Пусть образы элементов при этом гомоморфизме. Тогда Образ элемента равен и поэтому другой стороны, если целые числа, для которых то Лемма 5 доказана.