§ 6. Общие точки

Определение 1. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Если надполе поля точка группы то мы будем называть обобщенной точкой группы Если обобщенная точка группы такая, что всякая точка группы является ее специализацией по отношению к полю К, то она называется общей точкой группы

Теорема 4. Алгебраическая группа автоморфизмов пространства V обладает общей точкой тогда и только тогда, когда она неприводима.

Пусть а — идеал, соответствующий группе Предположим сначала, что О имеет общую точку Очевидно, что для всех Если же, наоборот, полиномиальная функция на не содержащаяся в а, то существует точка для которой так как специализация точки по отношению к полю К, то также Мы виаим, что а — ядро гомоморфизма кольца в поле Отсюда заключаем, что а — простой идеал и,

следовательно, неприводимая группа. Предположим, наоборот, что неприводимая группа, и пусть поле рациональных функций на Пусть - система координатных функций на и пусть функции на индуцированные функциями итогда Множество элементов можно также рассматривать как систему координатных функций на Для некоторой точки имеем

Если то, очевидно, функция индуцирует на группе функцию Равенство имеет место тогда и только тогда, когда обращается в нуль на Отсюда следует, что точки группы являются специализациями по отношению к полю К точки Для обозначим через определитель эндоморфизма полиномиальная функция, не обращающаяся в нуль на группе так что что, доказывает обратимость элемента Группе соответствует идеал, состоящий из линейных комбинаций с коэффициентами из элементов из идеала а; следовательно, всякая функция, принадлежащая этому идеалу, равна нулю в точке так что обобщенная точка группы Отсюда следует, что общая точка группы

Замечание. Пусть -поле рациональных функций на группе Если построенная нами общая точка группы в пространстве то для всех Действительно, это равенство справедливо, если одна из функций Так отображение кольца рациональных функций на является гомоморфизмом, то указанное равенство остается верным для случая, когда полиномиальная функция; но тогда оно также справедливо и для всех рациональных фулкций» Точка как легко видеть, однозначно определена вышеуказанным свойством.

Предложение 1. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть общая точка группы Всякая обобщенная точка группы является тогда специализацией точки по отношению к полю для того чтобы была общей точкой группы необходимо и достаточно, чтобы она была общей

специализацией точки Если надполе поля К у та точка принадлежит группе тогда и только тогда когда специализация точки по отношению к полю обратимый эндоморфизм.

Если полиномиальная функция на 6 равна нулю в точке 5, то обращается в нуль на группе и принадлежит идеалу, соответствующему группе Но тогда что показывает, что специализация точки по отношению к полю Если общая точка, то также специализация точки так что общая специализация точки Если, наоборот, это условие выполнено, то всякая точка группы специализация точки общая точка. Если специализация точки то для всех функций из идеала а, соответствующего группе О, и также для всех Следовательно, если, кроме того, элемент обратим, то Предложение 1 доказано.

Предложение 2. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть рациональное отображение группы в векторное пространство над полем К. Пусть обобщенные точки группы такие, что специализация точки по отношению к полю К. Тогда, если отображение определено в точке то оно также определено в точке специализация точки по отношению к полю К.

Пусть полиномиальная функция над пространством Если определено в точке то и функция определена в и представима в виде где полиномиальные функции на причем (лемма 3 из § 5). Так специализация точки то и функция определена в точке Пусть базис пространства положим

где рациональная функция на Выбргв в качестве функции линейную функцию, определенную условиями для имеем мы что в точке определены все функции следовательно, также отображение Если теперь полиномиальная функция на такая, что то так что

Это показывает, что специализация точки по отношению к полю К.

Определение 2. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V. Размерностью группы называют степень трансцендентности поля рациональных функций над по отношению к полю К. Под размерностью любой (не обязательно неприводимой) алгебраической группы автоморфизмов пространства V мы будем понимать размерность алгебраической компоненты ее единицы.

Замечание. Если К — поле вещественных чисел, то группа Ли. Несколько позже мы покажем, что размерность группы рассматриваемой как группа. Ли, совпадает с размерностью группы в смысле определения 2.

Предложение 3. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Если обобщенная точка группы то алгебраическая размерность точки по отношению к полю К не больше размерности группы Если группа неприводима, то необходимым и достаточным условием для того, чтобы была общей точкой, является равенство

Пусть алгебраическая компонента единицы группы а пусть классы группы по подгруппе Из теоремы 3 § 5 следует, что всякая обобщенная точка группы представима в виде где один из индексов обобщенная точка группы Очевидно, что и равняется алгебраической размерности точки

Как мы видели, существует общая точка группы такая, что является полем рациональных функций на труппе Точка специализация точки и если группа неприводима, то общая точка тогда и только тогда, когда она является общей специализацией точки (предложение 1). Предложение 3 вытекает теперь из предложения 1 § 7 гл.

Предложение 4. Если алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, а -алгебраическая подгруппа группы то размерность группы И не больше размерности группы -подгруппа конечного индекса в группе тогда и только тогда, когда

Пусть — алгебраические компоненты единиц групп и соответственно. Легко усмотреть, что -алгебраическая подгруппа конечного индекса в группе следовательно, содержит группу Общая точка группы является обобщенной точкой группы так что Цели то общая точка группы будет также общей точй группы так что . С другой стороны, очевидно, что условие необходимо и достаточно для того, чтобы подгруппа была подгруппой конечного индекса группы

Предложение 4 доказано.

Предложение 5. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства надполе поля К. Тогда размерность группы равна размерности группы

Пусть алгебраическая компонента единицы группы Группа является алгебраической компонентой единицы группы Пусть поля рациональных функций над группами соответственно. Как нам известно, поле получается присоединением к полю элементов поля и подполй поля линейно свободны в роле относительно поля К (ср. предложение -Предложение 5 является теперь следствием одного предложения Бурбаки (Алгебра, гл. V, § 5, п° 4).

Предложение 6. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем алгебраические группы автоморфизмов пространств соответственно. Размерность группы равняется сумме размерностей групп

Пусть алгебраические компоненты единиц групп соответственно. Как известно, группа неприводима, и очевидно, что она является подгруппой конечного индекса в группе Следовательно, алгебраическая компонента единицы группы так что предложение 6 достаточно доказать для случая неприводимых групп

В этом случае мы можем воспользоваться предложением 2 § 4, которое показывает, что поле рациональных

функций над группой порождается двумя подполями, соответственно изоморфными полям рациональных функций над группами причем эти два подполя линейно свободны относительно поля К (ср. Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 2, п°3).

Отсюда можно заключить, что степень трансцендентности поля относительно поля К равна сумме степеней трансцендентности полей рациональных функций над группами (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 5, п°4, предложение 10). Предложение 6 доказано.

Пусть — конечномерные векторные пространства над К. Предположим, что для каждого задан эндоморфизм пространства Так же как и в случае условимся отождествлять элемент произведения пространств эндоморфизмов пространств с эндоморфизмом пространства переводящим элемент в элемент Для имеем если то

[как обычно, пространство отождествляется с пространством

Пусть для каждого группа автоморфизмов пространства Множество элементов вида где является группой автоморфизмов пространства Индукцией по можно непосредственно доказать следующие свойства:

Если все алгебраические группы, то и произведение алгебраическая группа (ср. предложение I § 1).

Если все группы неприводимые алгебраические группы, то тем же свойством обладает и их произведение (ср. предложение 2 § 3) и размерность произведения равняется сумме размерностей групп (ср. предложение 6).

Если надполе поля то группа совпадает с группой (ср. предложение 1 § 5).

Пусть векторные пространства над полем К, и пусть для каждого — рациональное

отображение группы в пространство Существует одно и только одно рациональное отображение группы в пространство котором

для всех точек группы таких, что каждое отображение определено в соответствующей точке (ср. лемму 6 из § 4). Отображение называется декартовым произведением отображений Если надполе поля К у то отображение группы продолжающее отображение является декартовым произведением рациональных отображений групп продолжающих отображения Наконец, очевидно, что при отождествлениях, обычных для произведений векторных пространств, для 1 имеет место равенство

Предложение 7. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть рациональное отображение группы в пространство эндоморфизмов конечномерного векторного пространства над полем Мы предположим, что отображение определено во всех точках группы что автоморфизм пространства и что образом при тождественного автоморфизма пространства V является тождественный автоморфизм пространства Пусть - наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая элементы для всех Тогда группа неприводима. Кроме того, существуют надполе поля К и конечное число точек из такие, что отображение определено во всех этих точках и

— общая точка группы

Пусть целое число обозначим через произведение экземпляров группы через — произведение экземпляров пространства и через отображение в которое является произведением отображений Очевидно, рациональное отображение пространства в пространство Следовательно, существует рациональное отображение группы в пространство такое, что

для всех Пусть общая точка группы Предложение 2 показывает, что отображение определено в этой точке; положим

Если элементы группы то специализация точки по отношению к полю К Действительно, точка принадлежит группе и является специализацией точки наше утверждение следует из предложения 2.

Покажем теперь, что специализация точки по отношению к полю К. Пусть единица группы Очевидно, — обобщенные точки группы Отсюда следует, что специализация точки Но отображение определено во всех точках и в точке так что следовательно, отображение определены в точке и

поскольку тождественный автоморфизм пространства Наше утверждение, что точка специализация точки следует теперь из предложения 2.

Из сказанного вытекает, что алгебраические размерности точек образуют неубывающую последовательность целых чисел. С другой стороны, алгебраическая размерность точки не может быть больше размерности пространства [так как получается из поля К присоединением координат точки относительно некоторой системы координатных функций пространства ] Поэтому существует целое число такое, что все точки с индексом имеют одну и ту же алгебраическую размерность. Но тогда для точка общая специализация точки (гл. I, § 7, предложение 1), так что специализация точки вообще, для точка специализация точки по отношению к полю

Пусть множество произведений конечного числа элементов вида где Так как тождественный автоморфизм, то каждый элемент из можно представить в виде произведения по меньшей мере из к элементов вида в силу доказанного выше утверждения, каждый элемент из является специализацией точки Пусть а — идеал полиномиальных функций над равных нулю на Этот

идеал содержит совокупность полиномиальных функций над для которых Пусть, наоборот, элемент из а. Композиция является рациональной функцией на Эта функция всюду определена и обращается в нуль на Следовательно, она тождественно равна нулю не только на группе но также и на группе для любого надполя поля К. В частности, эта функция определена и равна нулю в. точке так что Мы видим, что а — идеал всех Полиномиальных функций над для которых

Произведение любых двух элементов из принадлежит и предложение 2 § 1 показывает, что а — идеал, соответствующий наименьшей алгебраической группе автоморфизмов пространства содержащей этой группой как раз является группа Мы видим, что общая точка группы и что, следовательно, группа неприводима. Предложение 7 доказано.

Замечание 1. Доказательство предложения 7 показывает, что точки о которых говорится в формулировке предложения, могут быть выбраны так, что будет общей точкой группы

Замечание 2. При таких же обозначениях, как в предложении 7, пусть некоторое надполе поля К. Пусть, далее, -наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая точки где пробегает те точки группы в которых отображение определено и обратимый эндоморфизм. Тогда группа совпадает с группой

Действительно, пусть — точка группы в которой отображение определено, и пусть -полиномиальная функция на равная нулю на В точке функция принимает значение эта функция обращается в нуль на группе следовательно, также на группе так что Отсюда следует, что если элемент обратим, то он принадлежит так что содержится в . С другой стороны, так как множество группа, то оно содержит группу порожденную элементами из. Так как алгебраическая группа (лемма 1 из § 5), содержащая группу Н то то следовательно,

Предложение 8. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства ее рациональное представление автоморфизмами конечномерного пространства над полем К. Если общая точка группы то общая точка наименьшей алгебраической группы автоморфизмов пространства содержащей группу Если размерность группы то существует обобщенная точка размерности группы такая, что Если размерность группы равна то размерность ядра гомоморфизма всегда

Из предложения 7 следует существование обобщенных точек группы для которых

— общая точка группы Но произведение обобщенная точка группы и является, следовательно, специализацией точки по отношению к полю К. Отсюда заключаем, что специализация точки по отношению к полю К (предложение 2). С другой стороны, предложение 7 показывает, что обобщенная точка группы следовательно, специализация по отношению к полю К точки Отсюда сразу следует, что общая точка группы И. Пусть -алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля Согласно предложению 2 § 7 гл. I, существует обратимый элемент из такой, что специализация точки по отношению к полю Ясно, что специализация точки по отношению к полю так как точка обратимый элемент, то она является обобщенной точкой группы Отображение

— рациональное отображение группы в пространство эндоморфизмов пространства Это отображение определено в точке и переводит точку в 0. Из предложения 2 следует, что Поле содержит, очевидно, поле Так как общая точка группы И, то степень трансцендентности поля относительно поля К равна в то время как степень трансцендентности поля не меньше С другой стороны, Так как алгебраическое расширение поля то его степень трансцендентности относительно поля К равна так степень трансцендентности поля относительно поля К

должна быть Отсюда заключаем, что алгебраическая размерность точки относительно поля К равна Пусть теперь размерность группы Тогда и размерность группы равна и найдется обобщенная точка и этой группы, алгебраическая размерность которой относительно будет равна Точка есть обобщенная точка группы покажем, что ее алгебраическая размерность относительно К равна

Ограничение на группу рационального представления группы очевидно, есть рациональное представление, продолжающее ограничение представления на группу Но ограничение представления на переводит группу в множество состоящее из одного тождественного автоморфизма пространства Так как рациональное представление группы продолжающее ограничение представления на группу определено однозначно, то так что . С другой стороны, так что Имеем и точки имеют одну и ту же алгебраическую размерность относительно поля К. Отсюда следует, что поле алгебраическое расширение поля а алгебраическое расширение поля Но Степень трансцендентности поля относительно равна его степень трансцендентности относительно К равна Это показывает, что алгебраическая размерность точки относительно поля К равна Так как обобщенная точка группы то

Следствие. При обозначениях предложения 8 предположим дополнительно, что поле К алгебраически замкнуто. Тогда размерность группы равна

Положим тогда и степень трансцендентности поля относительно поля К не больше, чем сумма числа и алгебраической размерности точки относительно поля таким образом, эта последняя степень по меньшей мере равна и следствие будет доказано, если мы установим, что обобщенная точка группы Для этого достаточно показать, что если полиномиальная функция на 6, для которой то всегда найдется точка из для которой Обозначим через полиномиальную функцию на 6, для которой равно определителю точки

для всех следовательно, также для всех точек где любое надполе поля К. С помощью предложения 2

§ 7 гл. I мы заключаем, что существует специализация точки такая, что точки принадлежат пространству Отображения суть рациональные отображения группы в пространства соответственно. Кроме того, они переводят точку в 0. Из предложения 2 следует, что Мы видим, что тождественный автоморфизм пространства так что Следствие доказано.

При тех же обозначениях, что и в предложении 8, мы докажем позже, что размерность группы всегда равна если К — поле характеристики Это утверждение, вообще говоря, неверно в случае поля К характеристики Действительно, пусть -несовершенное поле характеристики и пусть с — элемент поля К, не являющийся степенью в К. Пусть V — векторное пространство размерности 2 над К, а базис пространства Для обозначим через автоморфизм пространства V, определенный формулами Легко заметить, что совокупность преобразований для представляет собой неприводимую алгебраическую группу автоморфизмов пространства V, изоморфную аддитивной группе элементов поля К. Пусть группа Для из К положим Очевидно, рациональное представление группы Наименьшей алгебраической группой автоморфизмов пространства V, содержащей группу является группа Размерность ее равна 1, между тем как размерность группы равна 2. Ядро представления состоит из тех элементов для которых Так как с не является степенью в К, то это последнее условие выполняется только при Это показывает, что ядро представления содержит только единицу группы и размерность его, следовательно, равна 0.

Вопрос, можно ли в формулировке следствия предложения 8 ослабить условие, заменив требование алгебраической замкнутости поля К требованием, чтобы оно было совершенным, остается пока открытым.