ДОБАВЛЕНИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

Автор настоящей книги Клод Шевалле является участником коллектива французских математиков, издающих с 1936 г. под псевдонимом Н. Бурбаки многотомный энциклопедический трактат "Элементы математики". Кроме автора, в коллективе участвуют французские математики А. Вейль, Р. Годеман, Ж. Диксмье, Ж. Дьёдонне, А. Картан, П. Самюель, Ж.-П. Серр, К. Шаботи, Л. Шварц и другие, а также американский математик С. Эйленберг. По замыслу авторов, "Элементы математики" должны будут содержать полное, строгое и последовательное изложение начал всех основных современных дисциплин чистой математики с единой теоретико-хмножественной точки зрения. В настоящее время публикуется первая часть трактата "Основные структуры анализа"; план второй части еще не полностью выкристаллизовался. Трактат распадается на тома, посвященные отдельным дисциплинам — теории множеств, алгебре, топологии, функциям вещественной переменной, топологическим векторным пространствам, интегрированию и т. д.; каждый том, в свою очередь, распадается на главы. Публикация происходит отдельными выпусками, содержащими одну или несколько глав какого-нибудь тома. В среднем выходят 2—3 выпуска в год.

Как сам замысел, так и его выполнение встречают в настоящее время в кругах французских математиков очень различную реакцию — от ворторженной до враждебной. Нужно отметить, что подбор и распределение материала, стиль изложения и терминология Н. Бурбаки оригинальны и своеобразны и зачастую значительно отличаются от общепринятых. Многое из предложенных новшеств, несомненно, спорно, многое очень естественно и войдет, по всей вероятности, в практику математиков с большими или меньшими изменениями. Но во всяком случае результаты работы большого коллектива крупных ученых — без преувеличения можно сказать, что в коллектив

входит в настоящее время больше половины ведущих французских математиков, занимающих к тому же основные кафедры крупнейших университетов Франции, - десятилетиями упорно и организованно работающих над осуществлением одной общей идеи, не смогли не оказать серьезного влияния на широкие круги подрастающего поколения математиков, в первую очередь во Франции, но также и в других странах — в Германии, Италии, Бельгии, Швейцарии и др. Это влияние в первую очередь проявляется в форме изложения математических теорий, в употреблении специфической "бурбакистской" терминологии, но также в систематическом использовании ряда понятий [как, например, тензорных и внешних произведений в алгебре, понятия "фильтра" (центрированной системы множеств) в топологии и анализе и т. д.], возникших зачастую до и вне коллектива Бурбаки, но вошедших в повседневную практику многих математиков благодаря книгам Бурбаки. Не следует удивляться, что особенно широкое применение "бурбакистского" стиля изложения встречается в книгах и работах непосредственных участников коллектива, в частности в книгах и работах К. Шевалле.

Настоящее добавление содержит краткое переизложение (без доказательств) тех результатов Н. Бурбаки, на которые ссылается автор, а также определения и описания некоторых "бурбакистских" понятий. При этом мы будем иногда приводить соответствующие выдержки из трактата Н. Бурбаки. Критический разбор "Элементов математики" Н. Бурбаки, разумеется, не является нашей задачей.

1. Понятие структуры

Как уже сказано, цель трактата Н. Бурбаки — дать строгое и последовательное изложение начал различных математических дисциплин на теоретико-множественной основе. Объектом изучения каждой математической дисциплины являются при этом некоторые структуры, т. е. множества с определенными в них отношениями (в широком смысле этого слова), специфическими для данной области математики. Мы остановимся на понятии структуры несколько более подробно, чем на других понятиях; оно занимает во всем изложении Н. Бурбаки центральное место.

Приведем выдержку из книги Бурбаки, в которой вводится понятие структуры (Н. Бурбаки, Теория множеств, Сводка результатов, § 8).

1. Пусть, например, даны три различных множества Исходя из них, можно образовать новые множества: множества подмножеств каждого из этих множеств, произведения одного из множеств на себя и, наконец, произведений двух из данных множеств, взятых в определенном порядке. Таким образом мы получаем двенадцать новых множеств; присоединяя их к трем множествам можно повторить над этими пятнадцатью множествами те же операции, опуская при этом множества, построенные ранее; и т. д. столько раз, сколько нам заблагорассудится. О всяком множестве, полученном таким способом (согласно явно определенной схеме), мы будем говорить, что оно принадлежит лестнице множеств над базисом

Пусть три множества этой лестницы и отношение между общими элементами этих множеств; отношение определяет подмножество множества т. е. (в силу естественного соответствия) подмножество множества наконец, элемент множества Итак, задание некоторого отношения между элементами нескольких множеств одной и той же лестницы равносильно заданию элемента некоторого другого множества этой лестницы. Равным образом задание, например, некоторого отображения множества в множество сводится (если рассматривать представляющее множество этого отображения) к заданию некоторого подмножества множества т. е. к заданию некоторого элемента множества в свою очередь принадлежащего лестнице. Наконец, задание, например, пары элементов множества сводится к заданию одного элемента множества-произведения Итак, задание некоторого множества элементов, принадлежащих множествам лестницы, отношений между общими элементами множеств, отображений подмножеств этих множеств в другие множества, — все это сводится в конечном счете к заданию одного единственного элемента одного из множеств лестницы.

2... Задание некоторого элемента С множества определяет структуру упорядоченного множества на

если выполняются следующие условия

В общем случае рассмотрим некоторое множество принадлежащее лестнице над базисом, состоящим, например, из трех множеств зададимся рядом явно сформулированных свойств общего элемента множества и пусть - пересечение подмножеств множества определенных каждым из этих свойств. Мы будем говорить, что всякий элемент множества определяет на структуру вида Таким образом, структуры вида характеризуются схемой построения множества исходя из множеств и определяющими свойствами называемыми аксиомами этих структур. Все структуры одного и того же вида обозначаются одним специфическим термином...

Наконец, для удобства изложения множеству, на котором определена структура определенного вида, дают часто особое название; так, например, говорят об упорядоченных множествах, а в продолжении настоящего трактата будут определены понятия группы, кольца, поля, топологического пространства, равномерного пространства и т. д. Все эти слова обозначают множества, на которых определены некоторые структуры.

3. Рассмотрим структуры одного и того же вида где - подмножество некоторого множества принадлежащего лестнице множеств. Если добавить новые "аксиомы" к тем, которые определяют то получающаяся система аксиом определит некоторое подмножество множества содержащееся в Мы будем говорить, что структуры вида богаче, чем структуры вида Так, например, структуры полностью

упорядоченного множества богаче, чем структуры упорядоченного множества: элемент ), определяющий такую структуру, удовлетворяет дополнительной аксиоме

Далее указывается, что, вообще говоря, структуры некоторого вида могут быть заданы различными системами аксиом. Две системы аксиом, определяющие структуры одного и того же вида, называются эквивалентными. Далее вводится понятие изоморфизма и, в частности, автоморфизма структур. После всего сказанного читатель без труда уяснит себе эти понятия.

При изучении некоторой структуры, определенной на множестве очень часто приходится рассматривать одновременно соответствующие более бедные структуры, определенные на только некоторой частью заданных отношений. Так, например, если -алгебра над полем то в множестве А тем самым определены более бедные структуры векторного пространства над К, кольца, (аддитивной) абелевой группы и т. д. При рассмотрении изоморфизмов и автоморфизмов в таких случаях нужно указывать, о какой структуре идет речь. Сюда относятся такие выражения, часто встречающиеся в изложении Бурбаки, а также в книге К. Шевалле: "Пусть А — алгебра над полем и пусть автоморфизм (или эндоморфизм) ее структуры векторного пространства". Ясно, что в данном случае речь идет об отображении множества А на (или в) себя, сохраняющем по меньшей мере операции векторного пространства, определенные на А. В переводе этой книги подобные фразы часто формулируются так: "Пусть А — алгебра над полем К, и пусть автоморфизм векторного пространства

Нужно думать, что понятие структуры, введенное Н. Бурбаки, останется в математической науке. Даже оставив в стороне его роль в теоретико-множественном обосновании математики, можно заметить, что оно дает естественный принцип классификации абстрактных аксиоматически определенных математических объектов. Кроме того, его употребление удобно при изложении абстрактных математических дисциплин. В советской литературе термин "структура" имеет уже установившийся смысл, значительно более узкий и совершенно отличный

от понятия "структуры" у Н. Бурбаки. Возникает насущная необходимость ввести удобный русский термин для этого нового понятия.

2. Сопряженный эндоморфизм (Н. Бурбаки, Алгебра, гл. II, § 4, п° 9)

Пусть V — векторное пространство над полем по определению, пространство V, дуальное к V, состоит из линейных отображений пространства V в поле Бурбаки обозначает через значение линейного отображения х (линйной формы) в точке линейная функция от х при фиксированном х и от х при фиксированном называется канонической билинейной формой над пространствами Если пространство V конечномерно, то оно изоморфно своему дуальному пространству кроме того, V можно в этом случае рассматривать, в свою очередь, как пространство, дуальное к

Пусть конечномерные пространства, дуальные к ним пространства, и пусть линейное отображение Для каждого выражение есть линейная форма над V, т. е. некоторый элемент зависящий от где есть отображение Ясно, что линейное отображение (У в зависящее от ; оно называется сопряженным (или траненонированым) к Согласно сказанному, определяется тождеством

относительно В частности, если эндоморфизм V, то эндоморфизм V, определенный формулой

Отсюда ясно, что

Оператор есть антиизоморфизм кольца эндоморфизмов пространства V в кольцо эндоморфизмов пространства

3. Тензорные произведения векторных пространств (Н. Бурбаки, Алгебра, гл. III, § 1)

Пусть векторные пространства над одним и тем же основным полем Билинейное отображение пары пространств в это отображение декартова произведения в линейное по каждому аргументу при фиксированном другом. Если — билинейное отображение в линейное отображение в некоторое пространство то -билинейное отображение пары в Под тензорным произведением пространств понимается пара где векторное пространство над билинейное отображение в для которых выполняются следующие условия: 1) пространство порождается всеми образами когда х и у независимо друг от друга пробегают соответственно и для всякого билинейного отображения пары пространств в некоторое пространство существует линейное отображение пространства такое, что

Нетрудно доказать существование такого пространства и отображения Согласно 2), тензорное произведение однозначно определено в следующем смысле: если и два пространства и два билинейных отображения, удовлетворяющих условиям 1) и 2), то существует изоморфизм пространства на такой, что

удобно записывать как произведение элементов; . При такой записи пространство состоит из всевозможных конечных сумм вида где

Если пространства и V конечномерны и если соответственно базисы пространств то элементы образуют базис и для имеет место равенство

Аналогично с помощью понятия полилинейного отображения определяется тензорное произведение пространств Оно состоит из конечных сумм элементов вида

где При выбранных базисах пространств пространство имеет базис, состоящий из элементов вида

В частности, если все V совпадают друг с другом, то говорят о тензорной степени пространства Элементы пространства суть контравариантные тензоры степени над Пространство совпадает (в обозначениях К. Шевалле) с подпространством однородных элементов степени в тензорной алгебре

Заметим, что понятие тензорного произведения определяется у Н. Бурбаки аналогичным образом для модулей над коммутативными кольцами с единицей. В книге Шевалле это понятие в такой общей форме не используется.

4. Тензорное произведение алгебр (Н. Бурбаки, Алгебра, гл. III, § 3)

На основе понятия тензорного произведения векторных пространств (или даже, более обще, модулей) определяется понятие тензорного произведения алгебр. Обычно это произведение называется прямым или кронекеровским произведением алгебр.

Пусть две алгебры над некоторым полем К (или, более обще, над некоторым коммутативным кольцом А). На тензорном произведении векторных пространств естественным образом определяется структура алгебры. А именно, умножение на достаточно определить для элементов вида где так как они составляют систему образующих для структуры векторного пространства умножение на всем доопределяется тогда по

линейности. Для элементов же вида умножение определяется так:

Легко проверить, что при таком умножении на определена структура алгебры; эта алгебра и называется тензорным произведением алгебр и обозначается также

Если и базисы алгебр над полем то элементы вида образуют базис пространства умножение в алгебре вполне определяется таблицей умножения для этого базиса. Согласно (1), эта таблица умножения полностью определяется таблицей умножения элементов базиса на элементы базиса

Если алгебры с единицей единицы алгебр соответственно), то и алгебра с единицей, причем единицей для является В этом случае изоморфизмы алгебр в

В предположении, что алгебры с единицами, тензорное произведение может быть (с точностью до изоморфизма) охарактеризовано следующим образом:

1) алгебра содержит подалгебры соответственно изоморфные алгебрам подалгебры поэлементно перестановочны (для всех имеет место равенство алгебра порождается подалгебрами всякая алгебра обладающая свойствами 1) — 3), является гомоморфным образом алгебры

5. Расширение основного поля векторного пространства (Н. Бурбаки, Алгебра, гл, III, § 2)

Понятие тензорного произведения векторных пространств позволяет определить операцию расширения основного поля векторного пространства.

Пусть К — поле, V — векторное пространство над расширение поля В частности, в определена также

структура векторного пространства над поле рассматриваемое как векторное пространство над условимся обозначать через

Рассмотрим тензорное произведение векторных пространств и V над К. В можно определить структуру векторного пространства над полем Действительно, умножение на элементы из достаточно определить для элементов из вида где для положим (где произведение берется в поле Умножение на элементы из доопределяется для всех элементов из согласно дистрибутивному закону. С так определенным умножением тензорное произведение становится векторным пространством над полем пространство обозначается через

Для отображение есть -линейное отображение V в называемое каноническим отображением; образ V в при этом отображении отождествляется с пространством после такого отождествления можно считать, что пространство содержит Пространство называется векторным пространством, получаемым из V расширением основного поля до поля

Легко усматривается, что операция расширения основного поля векторного пространства "транзитивна"; а именно если V — расширение поля Всякий базис В пространства V (над полем К) является одновременно базисом (над полем Отсюда легко вытекает следующее предложение: пусть векторные пространства над полем К у и пусть есть линейное отображение тогда существует одно и только одно линейное отображение пространства в продолжающее

Заметим, что указанные понятия и результаты, связанные с расширением основного поля векторного пространства, являются частным случаем теории расширений кольца операторов модулей над коммутативными кольцами. Именно эта теория и рассматривается Бурбаки. В книге Шевалле используется только частный случай этой теории, относящийся к векторным пространствам.

Аналогично с помощью понятия тензорного произведения алгебр определяется расширение основного поля алгебры.

6. Линейно свободные расширения (Н. Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 2, п° 3)

Пусть поле расширение поля К, и пусть два подкольца в содержащие поле К. Поле обладает структурой алгебры над К, и кольца можно рассматривать как ее подалгебры. Рассмотрим тензорное произведение алгебр над К. Сопоставляя элементам вида элемент мы определяем представление алгебры для которого Пусть Тогда С является подкольцом порожденным подкольцами Если и - соответственно базисы алгебр то С совпадает с каждым из нижеследующих множеств линейных комбинаций:

Кольца называются линейно свободными над К, если точное представление, т. е. является изоморфизмом алгебры Ясно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы элементы из (соответственно из В), линейно независимые над были линейно независимы над В (соответственно над ).

На стр. 147 автор использует следующее предложение ( Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 2, п° 3, предложение 5): пусть в тех же обозначениях, как и выше, два расширения поля К, содержащихся в расширении и пусть соответственно поля отношений колец Для того чтобы были линейно свободными над К, необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладали кольца

Это утверждение легко доказывается с помощью того факта, что элементы из линейно независимы над тогда и только тогда, когда они линейно независимы над В.

7. Трансцендентные расширения, базис трансцендентности, алгебраическая размерность (Н. Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 5)

Пусть К — поле, расширение поля К. Элемент х из называется трансцендентным над К, если он не является корнем никакого полинома с коэффициентами из в противном случае он называется алгебраическим.

Понятие трансцендентного элемента обобщается следующим образом. Пусть -некоторое семейство элементов из Рассматривается алгебра полиномов от переменных с тем же множеством индексов что и у семейства (Множество может быть бесконечным, но, разумеется, в каждом полиноме только конечное число одночленов имеет коэффициенты Всякий полином из для которого т. е. обращающийся в нуль при специализации называется алгебраическим соотношением над К для семейства Совокупность всех алгебраических соотношений семейства представляет собой идеал в алгебре он называется идеалом алгебраических соотношений данного семейства. Семейство называется алгебраически свободным над К, если идеал его алгебраических соотношений над К есть идеал (0). Это требование равносильно тому, что все одночлены должны быть линейно независимыми над К. Если семейство состоит из одного единственного элемента х, то х трансцендентен тогда и только тогда, когда семейство, состоящее из этого элемента, алгебраически свободно.

Расширение поля К называется чисто трансцендентным расширением К, если для непустого существует алгебраически свободное семейство над К, такое, что В этом случае поле изоморфно полю рациональных функций от переменных с коэффициентами из К.

Если какое-нибудь расширение поля то с помощью леммы Цорна легко доказывается существование максимальных алгебраически свободных (над К) подмножеств в Такое максимальное алгебраически свободное подмножество называется базисом трансцендентности поля над К. Все базисы трансцендентности поля над К имеют одинаковую

мощность; она называется степенью трансцендентности или алгебраической размерностью над К. Если базис трансцендентности над К, то чисто трансцендентное расширение, а алгебраическое расширение. При этом, если поле получается из К присоединением некоторого множества то всякое максимальное алгебраически свободное подмножество является базисом трансцендентности для над Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 5, п° 2, теорема 2). Этот факт легко доказывается с помощью леммы Цорна.

К понятию алгебраически свободного множества примыкает понятие алгебраической разобщенности двух расширений поля

Пусть расширение поля два подрасширения в Расширения называются алгебраически разобщенными над если для любых двух алгебраически свободных (над К) подмножеств пересечение пусто, а объединение алгебраически свободно над К.

Понятие алгебраической разобщенности полей существенно зависит от поля расширения алгебраически разобщенные над не будут, вообще говоря, алгебраически разобщенными над подполем С другой стороны, будут алгебраически разобщенными над К в том и только в том случае, если они обладают этим свойством как подрасширения поля

Если по крайней мере одно из расширений алгебраично, то алгебраически разобщены над К. Если два подрасширения расширения и если алгебраическая размерность конечна, то легко доказывается неравенство

равенство

справедливо тогда и только тогда, когда алгебраически разобщены над К.

Если алгебраические размерности расширений конечны, то для алгебраической размерности их композита справедливо неравенство

при этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда алгебраически разобщены.

Легко убедиться, что линейно свободные расширения тем более алгебраически разобщены. (Обратное утверждение, вообще говоря, неверно; оно справедливо при дополнительном предположении, что одно из расширений чисто трансцендентно.) Таким образом, если расширения линейно свободны, то при имеет место равенство

а при равенство

8. Сепарабельные и несепарабельные расширения (Н. Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 7)

Для свойства сепарабельности у Н. Бурбаки дано определение, более общее, чем обычное; оно охватывает любые расширения полей, как алгебраические, так и трансцендентные. Пусть поле и К — подполе в Обозначим через структуру векторного пространства над К поля Пусть V — конечномерное векторное подпространство (над К), содержащееся в пусть размерность Обозначим через совокупность -линейных отображений ; в естественным образом определена структура векторного пространства над :

Легко видеть, что размерность над равна , т. е. равна размерности V над К. Элементами являются, в частности, ограничения на -автоморфизмов поля ; совокупность этих ограничений порождает в некоторое подпространство, вообще говоря отличное от всего пространства это подпространство состоит из ограничений

на V операторов вида группа автоморфизмов поля и только конечное число

Пусть теперь некоторое расширение поля алгебраически замкнутое расширение поля Расширение называется сепарабельным, если для каждого конечномерного векторного подпространства (над совокупность ограничений на V всех -автоморфизмов поля 2 порождает все пространство (В определении требуется, чтобы это свойство выполнялось для одного какого-нибудь алгебраически замкнутого 2; но Бурбаки показывает, что оно тогда выполняется для всех алгебраически замкнутых 2, содержащих и, следовательно, зависит только от самого расширения Можно показать, что для случая алгебраического расширения это определение эквивалентно обычному, согласно которому расширение сепарабельно, если содержит только сепарабельные элементы над К.

Если поле и некоторая группа автоморфизмов поля то элементы остающиеся неизменными при всех [т. е. образуют подполе в называемое полем инвариантов группы

Пусть расширение поля алгебраическое замыкание поля Пусть группа всех -автоморфизмов поля , а поле инвариантов Расширение сепарабельно тогда и только тогда, когда линейно свободны.

Поле К называется совершенным, если оно является полем инвариантов всех -автоморфизмов своего алгебраического замыкания. Из сказанного выше легко следует, что совершенные поля и только они не обладают несепарабельными расширениями.

Все поля характеристики совершенны; при характеристике поле К совершенно в том и только в том случае, если

Для доказательства сепарабельности некоторого расширения часто пользуются следующим критерием Мак-Лэйна (Н. Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 8, п° 2, предложение 3). Пусть К — поле характеристики Обозначим через К поле корней из элементов поля К, а через объединение всех Пусть расширение поля алгебраически замкнутое

расширение Для того чтобы было сепарабельным, необходимо, чтобы были линейно свободными (над К), и достаточно, чтобы линейно свободными были

9. Деривации и расширения полей (Н. Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 9)

Пусть поле, содержащееся в поле 2. Деривацией поля называется отображение в 2, для которого

Если некоторое множество дериваций в 2, то совокупность всех для которых представляет собой подполе называется полем констант для данного множества дериваций. При этом ясно, что для всех и для всех имеет место равенство

С другой стороны, если К — подполе в то можно рассматривать совокупность дериваций в 2, переводящих в О все элементы из К. Такие деривации называются -деривациями -деривации в 2 образуют векторное пространство 3 над 2. В частности, можно рассматривать -деривации поля в себя Тогда на векторном пространстве (над -дериваций можно определить структуру алгебры Ли над с законом умножения

(Действительно, коммутатор двух -дериваций является опять -деривацией.)

Из свойств векторного пространства (или алгебры Ли) 3) можно сделать ряд заключений о свойствах расширения Так, например, пусть 2 — некоторое расширение поля подрасширение сепарабельное и порождаемое конечным числом элементов

далее, пусть — векторное пространство (над 2) -дериваций поля в 2, Тогда алгебраическая размерность над К равна размерности пространства над .

Относительно продолжения дериваций на некоторое расширение поля доказываются следующие утверждения.

Пусть подполе поля деривация в расширение содержащееся в 2 и порождаемое над конечным числом элементов далее, заданные элементы из 2. Спрашивается, в каком случае существует дериваций поля продолжающая и такая, что Необходимым и достаточным условием оказывается следующее: если а — идеал алгебраических соотношений между элементами с коэффициентами из есть совокупность всех полиномов с коэффициентами из таких, что то для всех должно иметь место равенство

где полином, получаемый из применением оператора к коэффициентам. Если это условие выполнено, то деривация с указанными выше свойствами существует и единственна.

Относительно продолжения дериваций на алгебраические расширения имеет место следующее предложение: пусть сепарабельное алгебраическое расширение поля содержащееся в некотором расширении Тогда всякая деривация в 2 продолжается, и притом одним единственным образом, в деривацию поля в 2.

Из сказанного, в частности, следует, что единственной -деривацией в 2 алгебраического сепарабельного расширения поля К является нулевая деривация. Справедливо и обратное утверждение, согласно которому указанное свойство характерно для сепарабельных алгебраических расширений если порождается над К конечным числом элементов.

10. Подполе, принадлежащее подпространству (Н. Бурбаки, Алгебра» гл. II, п° 5 и п° 6)

Пусть векторное пространство над полем базис пространства подпространство в Тогда тройке естественным образом соответствует некоторое

подполе К поля К называемое полем, принадлежащим подпространству V относительно базиса А. Поле характеризуется следующими двумя различными свойствами, эквивалентность которых может быть доказана:

1) есть наименьшее поле, такое, что подпространство V порождается векторами, все координаты которых в базисе А принадлежат полю

2) Известно, что при выбранном базисе А для всякого подпространства существует система однородных линейных уравнений

такая, что V состоит из всех векторов где решение системы Назовем всякую такую систему определяющей системой уравнений для подпространства V относительно базиса А. Если, как выше, А — базис векторное подпространство в то существует наименьшее поле такое, что для V относительно А найдется определяющая система уравнений с коэффициентами из — поле, принадлежащее подпространству V относительно базиса А.

К. Шевалле пользуется следующим предложением. Пусть поле, векторное пространство над базис пространства некоторая группа автоморфизмов поля Для каждого определим следующим образом отображение пространства в себя: для положим

Назовем подпространство допустимым относительно [при базисе если для всех Тогда

оказывается, что подполе принадлежащее подпространству V относительно содержится в поле инвариантов группы Из свойства 1) поля вытекает, что V обладает системой образующих, все координаты которых в базисе А инварианты относительно

Заметим, что все вышеуказанные свойства имеют место также в бесконечномерных векторных пространствах над телами; в такой общности они и излагаются Бурбаки.