§ 4. Симметрические алгебры

Пусть V — векторное пространство. Обозначим через тензорную алгебру над пространством V и через — идеал, порожденный в алгебре элементами вида для всевозможных пар элементов пространства Пусть фактор-алгебра Элементы однородны степени 2

в градуированной алгебре поэтому естественное отображение на 5 индуцирует изоморфизм векторного пространства V на некоторое подпространство в 5 (следствие предложения 3 из § 2). Мы отождествим элементы пространства V с их образами в алгебре 5. После этого отождествления будем называть алгебру 5 симметрической алгеброй над Это унитарная ассоциативная алгебра, для которой V является системой почти-образующих. Отсюда вытекает, что и всякий базис пространства V оказывается системой почти-образующих алгебры Так как -однородный идеал алгебры (предложение 2 из § 2), то градуировка алгебры индуцирует градуировку в алгебре Группой степеней для градуированной алгебры 5 является аддитивная группа целых чисел; все элементы степени равны нулю; элементами степени алгебры 5 оказываются скаляры, а элементами степени -элементы пространства V» Следует помнить, что операция умножения для элементов пространства V имеет различный смысл в зависимости от рассматривается ли пространство V как часть алгебры или; как часть алгебры 5. Чтобы избежать недоразумений, мы будем употреблять знак для операции умножения в алгебре и сохраним обычное обозначение для умножения в алгебре 5.

Так как идеал содержит элементы в пространстве V), то т. е. элементы пространства V перестановочны в алгебре 5. Они также перестановочны с элементом 1; отсюда следует, что 5 — коммутативная алгебра, как это показывает следующая лемма:

Лемма 1. Пусть система образующих ассоциативной алгебры А. Если элементы множества перестановочны друг с другом, то алгебра А коммутативна.

Множество элементов алгебры А, перестановочных с образует подалгебру алгебры (так как А ассоциативна), содержащую, по предположению, множество следовательно, эта подалгебра совпадает с алгеброй А, так что элемент х принадлежит центру алгебры А. Центр алгебры оказывается подалгеброй, содержащей множество поэтому он совпадает с 4, что и доказывает лемму 1.

Предложение 1. Пусть V — векторное пространство, — симметрическая алгебра над линейное отображение пространства V в ассоциативную коммутативную и унитарную алгебру А. Тогда существует один и только

один унитарный гомоморфизм алгебры в алгебру А, продолжающий отображение множество является системой почти-образующих алгебры

Пусть элементы пространства Так как алгебра А коммутативна, то

предложение 1 следует поэтому из теоремы 1 § 1.

Унитарный гомоморфизм называется естественным продолжением отображения на алгебру в частности, -линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство V, и пусть симметрические алгебры соответственно над Можно, конечно, рассматривать отображение как линейное отображение тогда отображение допускает естественное продолжение являющееся унитарным гомоморфизмом алгебры 5 в алгебру Если линейное отображение пространства V в векторное пространство и естественное продолжение отображения в гомоморфизм алгебры в симметрическую алгебру над то, как легко видеть, естественным продолжением отображения пространства V в пространство является гомоморфизм

Предложение 2. Пусть линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство Пусть симметрические алгебры соответственно над и пусть гомоморфизм алгебры в алгебру являющийся естественным продолжением отображения Тогда гомоморфизм однороден степени 0. Если отображение взаимно однозначно, то и гомоморфизм взаимно однозначен.

Пусть у — однородный элемент степени алгебры целое число). Если то и тогда Если то элемент у — скаляр и скаляром также является элемент так как -унитарный гомоморфизм. Если то элемент у — линейная комбинация произведений из элементов пространства V и, следовательно, линейная комбинация произведений из элементов пространства Во всех случаях оказывается однородным элементом степени так что гомоморфизм однороден степени 0. Пусть теперь отображение взаимно однозначно. Обозначим некоторое подпространство, дополнительное к

подпространству . Тогда существует линейное отображение пространства V в пространство V, такое, что Для Для Пусть — унитарный гомоморфизм алгебры в алгебру , продолжающий отображение Гомоморфизм алгебры в себя унитарен и переводит элементы пространства V в себя; это, следовательно, тождественное отображение алгебры на себя, что и доказывает взаимную однозначность отображения

Рассмотрим, в частности, случай, когда V является подпространством пространства V и когда -тождественное отображение. Очевидно, в этом случае отображение можно продолжить в изоморфизм алгебры в алгебру . В случае необходимости мы можем отождествить симметрическую алгебру над пространством V с подалгеброй симметрической алгебры над пространством V (посредством изоморфизма

Каждый эндоморфизм X векторного пространства V обладает естественным продолжением на симметрическую алгебру 5 над пространством является унитарным эндоморфизмом алгебры Из сказанного выше следует, что эндоморфизм однороден степени и что для эндоморфизмов пространства V имеет место равенство Естественное продолжение тождественного эндоморфизма пространства V является тождественным эндоморфизмом алгебры 5; из этого следует, что отображение оказывается представлением мультипликативной группы обратимых эндоморфизмов пространства

Предложение 3. Пусть и - векторные пространства над одним и тем же полем, произведение этих пространств; пусть симметрические алгебры соответственно над и Отображение

пространства V в тензорное произведение алгебр и может быть продолжено (единственным способом) в изоморфизм алгебры на алгебру

Из предложения 1 вытекает существование однозначно определенного унитарного гомоморфизма алгебры в алгебру продолжающего отображение Кроме того, является системой почти-образующих алгебры Но

и мы видим, что система почти-образующих алгебры так что Линейные отображения пространств и в пространство V можно продолжить в унитарные гомоморфизмы алгебр в алгебру Существует линейное отображение алгебры в алгебру для которого

если (Бурбаки, Алгебра, гл. III, § 1, п° 2). Так как алгебра коммутативна, то, как непосредственно видно, является гомоморфизмом; этот гомоморфизм, очевидно, унитарен. Отображение -унитарный гомоморфизм алгебры в себя. Для имеем

Следовательно, гомоморфизм переводит каждый элемент пространства V в себя и поэтому является тождественным отображением алгебры 5 на себя. Это показывает, что отображение изоморфизм.

Предложение 4. Пусть V — векторное пространство, В — базис пространства симметрическая алгебра над Тогда элементы множества В алгебраически независимы в алгебре над основным полем пространства

Пусть различные элементы базиса В. Пусть -алгебра полиномов от переменных с коэффициентами из основного поля пространства Как известно, существует линейное отображение пространства V в алгебру для которого естественное продолжение отображения на алгебру Ясно, что

для всякого поэтому для что и доказывает предложение 4.

Следствие 1. При тех же обозначениях, что и в предложении 4, каждый элемент алгебры может быть представлен в виде полинома от элементов базиса В с коэффициентами из основного поля К пространства Алгебра изоморфна алгебре полиномов от переменных, множество которых равномощно базису В, с коэффициентами из поля К.

Это следует непосредственно из предложения 4 и из того факта, что множество -система почти-образующих алгебры

Следствие 2. Симметрическая алгебра над векторным пространством не содержит делителей нуля, отличных от 0.

Это вытекает из следствия 1.

Следствие 2 показывает, что симметрическую алгебру над векторным пространством V можно погрузить в поле отношений Поле является чисто трансцендентным расширением основного поля К пространства

Определение 1. Пусть поле отношений симметрической алгебры над векторным пространством Элементы поля называются рациональными выражениями от элементов пространства

Предл ожение 5. Пусть V — векторное пространство, 5 — симметрическая алгебра над пространством алгебра рациональных выражений от элементов пространства Всякое линейное отображение пространства V в алгебру может быть продолжено в деривацию алгебры и притом единственным образом. Эта деривация переводит алгебру в себя; если однородно степени то тем же свойством обладает ограничение деривации на алгебру Отображение пространства линейных отображений пространства V в алгебру в пространство дериваций алгебры линейно.

Пусть -тензорная алгебра над идеал, порожденный в элементами из V). Пусть некоторое подпространство дополнительное к пространству в естественное отображение алгебры на алгебру индуцирует взаимно однозначное линейное

отображение пространства на пространство обозначим через элемент пространства принадлежащий к классу линейное отображение пространства Это отображение может быть продолжено в деривацию алгебры (следствие предложения 11 из имеем

Так как алгебра 5 коммутативна, то эта формула показывает, что образ элемента при естественном отображении алгебры в алгебру есть нуль, следовательно, Из предложения 3 § 3 тогда следует, что деривация отображает идеал в себя, а согласно предложению 2 из § 3, отображение индуцирует при переходе в фактор-алгебру деривацию алгебры Ясно, что деривация продолжает отображение Но, как известно, деривация кольца без делителей нуля может быть продолжена в деривацию поля отношений этого кольца (Бурбаки, Алгебра, гл. предложение 11). Этим доказано существование деривации поля продолжающей отображение

Поле порождается (как поле) элементами пространства V и элементами основного поля К этого пространства. Отсюда мы заключаем, что всякая деривация поля однозначно определяется своим действием на элементы поля К и на элементы пространства Но деривация алгебры переводит элементы поля К в 0, как легко видеть из предложения 4 § 3; такая деривация, следовательно, однозначно определяется своим действием на элементы пространства V, что и доказывает единственность деривации

Если отображение однородно степени из следствия предложения 6 § 3 вытекает, что деривация также однородна степени

Пусть линейные отображения пространства V в алгебру Отображение является тогда деривацией алгебры продолжающей отображение т. е. Аналогично доказывается, что для всех Это показывает, что линейное отображение.

Предложение 6. Пусть эндоморфизмы векторного пространства деривации

алгебры рациональных выражений от элементов пространства V, продолжающие эндоморфизмы соответственно. Тогда деривацией алгебры продолжающей эндоморфизм

является отображение

Действительно, деривация алгебры (следствие предложения 5 из § 3), и эта деривация, очевидно, продолжает эндоморфизм

Пусть теперь V — векторное пространство, V — пространство, дуальное к симметрическая алгебра над V Пусть — множество всех отображений пространства V в поле К. Множество является кольцом, если для из о определить как отображение как отображение Это кольцо коммутативно и содержит подполе, изоморфное полю К, состоящее из постоянных отображений. Следовательно, его можно рассматривать как алгебру над полем К. Алгебра , очевидно, унитарна и содержит пространство V в качестве подпространства. Предложение 1 показывает, что тождественное отображение пространства V в алгебру можно продолжить в унитарный гомоморфизм алгебры в алгебру . Элементы подкольца алгебры о мы будем называть полиномиальными функциями над пространством V, и через мы будем обозначать кольцо полиномиальных функций.

Предложение 7. Пусть V — векторное пространство над бесконечным полем симметрическая алгебра над дуальным к V пространством гомоморфизм алгебры на кольцо полиномиальных функций над пространством V, продолжающий тождественное отображение пространства V в В этом случае гомоморфизм является изоморфизмом.

Пусть отличный от элемент алгебры базис пространства Тогда можно представить в виде полинома от конечного числа элементов базиса где полином с коэффициентами из поля К. Ясно, что — отображение пространства V в поле К. Так как поле К содержит бесконечно

много элементов и так как то существуют элементы поля К, такие, что Так как линейно независимые элементы пространства V, то существует элемент такой, что баки, Алгебра, гл. II, § 4, п°8). Тогда откуда

Всякий раз, когда мы будем рассматривать векторное пространство V над бесконечным полем, мы будем отождествлять симметрическую алгебру над дуальным к V пространством с алгеброй полиномиальных функций над пространством V посредством гомоморфизма

Предложение 8. Пусть и векторные пространства над одним и тем же бесконечным полем К, и пусть и алгебры полиномиальных функций соответственно над пространствами и Тогда существует изоморфизм тензорного произведения на алгебру полиномиальных функций над пространством отображающий произведение в функцию

Этот факт непосредственно вытекает из предложения 3.

Пусть теперь алгебра рациональных выражений от элементов пространства Даже если предположить, что поле К содержит бесконечно много элементов, то все-таки невозможно отождествить алгебру с подполем кольца отображений пространства V в поле Действительно, если то всегда существует линейная функция над пространством V, и так как то отображение не имеет обратного элемента в кольце отображений пространства V в поле К, между тем как обладает обратным элементом в алгебре

Но в некоторой мере все-таки можно исправить положение. Пусть элемент алгебры и пусть элемент пространства Мы будем говорить, что элемент определен в точке если можно представить в виде частного двух полиномиальных функций причем (Мы предполагаем, что поле К содержит бесконечно много элементов, так что алгебра является полем отношений кольца полиномиальных функций над пространством Предположим, что элемент определен в точке если

полиномиальные функции, такие, что

то

мы будем говорить, что элемент поля зависящий только от элементов является значением элемента в точке х, и будем обозначать этот элемент через Как легко видеть, множество элементов алгебры определенных в заданной точке х пространства V, образует подкольцо в (содержащее кольцо и отображение является гомоморфизмом этого подкольца в поле К. Таким образом, каждому элементу алгебры сопоставляется отображение некоторого подмножества пространства V (а именно, множества тех точек, в которых определен элемент в поле К. Отображение подмножества пространства V в поле К мы будем называть рациональной функцией над V, если в существует такой элемент что является множеством точек, в которых определен, и если для всех В этом случае, как мы сейчас покажем, элемент определен однозначно.

Определение 2. Подмножество векторного пространства V над бесконечным полем К называется алгебраически плотным в V, если существует полиномиальная функция над пространством V, такая, что все точки для которых содержатся в

Из предложения 7 следует, что пустое множество не может быть алгебраически плотным в пространстве

Лемма 2. Пересечение конечного числа алгебраически плотных подмножеств векторного пространства V над бесконечным полем К алгебраически плотно и, следовательно, не пусто.

Пусть алгебраически плотные подмножества пространства их пересечение, при каждом полиномиальная функция равная нулю на дополнении к множеству (в пространстве V). Тогда является полиномиальной функцией и равной нулю на дополнении к множеству

Лемма 3. Пусть V — векторное пространство над бесконечным полем, V — дуальное к нему пространство. Тогда

рациональное выражение от элементов пространства V определенное и принимающее значение на алгебраически плотном подмножестве пространства V, равно нулю.

Действительно, пусть где полиномиальные функции над Тогда во всех точках х подмножества множества в которых Пусть полиномиальная функция принимающая значение на дополнении к Тогда

для всех т. е. Но следовательно, т. е.

Если два рациональных выражения от элементов пространства V, то, как видно из леммы 2, множество точек, на котором одновременно определены оба выражения, алгебраически плотно в пространстве если для всех точек х этого множества то, согласно лемме Мы видим, что соответствие между рациональными выражениями от элементов пространства V и рациональными функциями над пространством V взаимно однозначно. Поэтому можно отождествить поле рациональных выражений от элементов пространства V с множеством рациональных функций над пространством После такого отождествления множество можно рассматривать и как поле, и как алгебру над основным полем К пространства Для элементов алгебры имеем

в каждой точке х, в которой элементы оба определены.

Определение 3. Пусть — алгебра рациональных функций над векторным пространством V над полем с бесконечным числом элементов, и пусть элемент из Пусть V — пространство, дуальное к линейное отображение пространства V в основное поле (которое можно рассматривать как линейное отображение пространства V в симметрическую алгебру над V может быть продолжено в деривацию алгебры (предложение 5). Эта деривация называется частной деривацией по х в алгебре

Предположим теперь, что размерность пространства V конечна, и пусть базис пространства Каждый элемент алгебры можно тогда представить в виде рациональной дроби от Для имеем

где частная производная рациональной дроби по ее аргументу. Действительно, отображение

является деривацией алгебры следовательно, деривацией также оказывается отображение

Если какой-нибудь элемент пространства V, то где элементы основного поля. Имеем отсюда (ср. предложение 5).

Если - элемент алгебры элемент пространства V, то функция определена во всех точках у пространства V, в которых определена функция Действительно, положим где полиномиальные функции и Тогда и полиномиальные функции. Это доказывает наше утверждение.

Определение 4. Пусть V — векторное пространство лад бесконечным полем, и пусть рациональная функция над V, Обозначим через множество точек пространства V, в которых определена. Если то линейное отображение пространства V в основное поле называется дифференциалом функции в точке у и обозначается через Отображение множества в основное поле пространства V называется дифференциалом функции и обозначается через

Для имеем

Пусть рациональные функции над V и у — точка из V, в которой обе функции определены. Тогда для имеем

как это немедленно следует из того, что отображение является деривацией. Если линейная функция над V, то

так как отображение продолжает отображение

Определение 5. Пусть -векторное пространство над бесконечным полем, а -эндоморфизм пространства пусть V — пространство, дуальное к -эндоморфизм пространства V, сопряженный по отношению к эндоморфизму X (Бурбаки, Алгебра, гл. II, § 4, п°9). Деривация алгебры рациональных функций над V, продолжающая эндоморфизм — пространства V, называется деривацией алгебры естественно соответствующей эндоморфизму

Предложение 9. Пусть V — векторное пространство над бесконечным полем и — алгебра рациональных функций над Обозначим через деривацию алгебры естественно соответствующую эндоморфизму X пространства Тогда:

1) отображение пространства эндоморфизмов пространства V в пространство дериваций алгебры линейно;

2) для двух эндоморфизмов пространства V имеем

3) если то рациональная функция определена во всех точках у, в которых определена функция и имеет место равенство

Первое утверждение непосредственно следует из предложения 5. Второе утверждение вытекает из предложения если принять во внимание, что

ср. Бурбаки, Алгебра, гл. II, § 4, п°9, формула (15)].

Если рациональная функция определена в точке у, то можно написать где полиномиальные функции, такие, что Но тогда

где полиномиальные функции. Следовательно, функция определена в точке у.

Пусть множество полиномиальных функций над пространством V, таких, что

во всех точках у пространства Это множество, очевидно, является векторным подпространством алгебры всех полиномиальных функций над Множество содержит, конечно, функции-постоянные (являющиеся скалярами алгебры Если - линейная функция над V, то

[ср. формулу (3)], т. е. Если функции из то

и

Поэтому Из сказанного вытекает, что Пусть теперь -любой элемент алгебры и пусть —точка пространства V, в которой функция определена. Представим в виде где принадлежат алгебре кроме того, Тогда

и

Это показывает, что

Мы хотим обобщить понятие рациональной функции над векторным пространством Определим понятие рационального отображения одного векторного пространства в другое. Пусть даны векторные пространства над одним и тем же бесконечным полем К. Пусть -алгебра рациональных функций над пространством образуем тензорное произведение векторных пространств и над полем К. Каждому элементу пространства мы сопоставим отображение некоторого алгебраически плотного подмножества пространства V в пространство Для обозначим через множество рациональных функций над V, определенных в точке -подпространство пространства Мы будем говорить, что элемент определен в точке у, если он принадлежит подпространству пространства Отображение является билинейным отображением декартова произведения в пространство оно определяет линейное отображение тензорного произведения Образ элемента пространства при этом отображении называется значением элемента в точке у и обозначается Если заданный элемент пространства то множество точек в которых элемент определен, алгебраически плотно в пространстве Действительно, элемент можно представить в виде суммы где элементы алгебры элементы пространства Пусть множество точек пространства V, в которых определена функция Н очевидно, что определен во всех точках пересечения множеств что и доказывает наше утверждение (в силу леммы 2). Мы будем называть отображение подмножества пространства V в пространство рациональным отображением пространства V в пространство если существует элемент пространства для которого множество является областью определения и при всех Если это условие выполнено, то элемент определен однозначно, как это показывает следующая лемма:

Лемма 4. Пусть элементы пространства Если существует алгебраически плотное подмножество пространства У, в котором оба элемента определены и принимают одинаковые значения, то

Пусть - базис пространства Положим

где элементы алгебры . Пусть — точка множества из наших определений следует, что все элементы определены в точке у. Кроме того,

т. е. для всех Так как множество алгебраически плотно в пространстве V, то, как показывает лемма для всех так что

Мы, следовательно, можем отождествить множество с множеством рациональных отображений пространства V в пространство после чего это второе множество становится векторным пространством над основным полем К пространства Пусть алгебра полиномиальных функций над пространство мы обозначим его через является подпространством пространства рациональных отображений пространства V в пространство Элементы пространства мы будем называть полиномиальными отображениями пространства V в пространство такие отображения, очевидно, всюду определены.

Пространство является одновременно полем, и пространство рациональных отображений можно также рассматривать как векторное пространство над полем Для мы обозначим через произведение вектора на скаляр в векторном пространстве над полем тогда для всех в которых оба элемента определены. Элементы и пространства можно отождествить с элементами пространства т. е. с постоянными отображениями пространства V в пространство Каждый элемент пространства можно поэтому записать в виде где элементы поля элементы пространства

Лемма 5. Пусть рациональное отображение векторного пространства V в векторное пространство и

пусть — тонка пространства V, в которой отображение определено. Тогда существует полиномиальная функция над V, такая, что произведение является полиномиальным отображением и

Пусть базис пространства положим

где - рациональные функции над Все эти функции определены в точке у, причем только для конечного числа индексов Можно, следовательно, положить где полиномиальные функции над пространством для всех индексов кроме того, можно предположить, что имеется только конечное число индексов для которых Произведение функций является полиномиальной функцией с искомыми свойствами.

Полиномиальная функция над пространством V, такая, что произведение является полиномиальным отображением, называется знаменателем отображения

Лемма 6. Пусть векторные пространства над одним и тем же бесконечным полем рациональное отображение пространства V в пространство рациональное отображение пространства в пространство Пусть множества точек, где соответственно определены отображения и пусть А — множество тех точек для которых Предположим, что А содержит по крайней мере одну точку тогда существует полиномиальная функция над V, отличная от нуля в такая, что множество А содержит все точки пространства V, в которых эта функция отлична от нуля, и существует одно и только одно рациональное отображение пространства V в пространство определенное на множестве А, такое, что для всех

Пусть знаменатель отображения такой, что (лемма 5); можно представить в виде полинома от конечного числа линейных функций над пространством Пусть знаменатель отображения такой, что и пусть базис пространства пусть где G

полиномиальные функции над пространством Положим

является рациональной функцией над пространством и если для точки то

Рациональную функцию можно, конечно, представить в виде где полиномиальная функция, показатель Имеем так что Полиномиальная функция отлична от нуля в точке и если -точка, в которой то откуда следует, что

Пусть теперь базис пространства положим где рациональные функции над пространством Поле рациональных функций над можно получить присоединением к полю К линейных функций над В этом поле функция может быть представлена в виде рациональной дроби от некоторого числа линейных функций Пусть такое представление. Можно предположить, что для каждого у функции (1 линейно независимы. В таком случае рациональная дробь однозначно определена. Положим

являются рациональными функциями над пространством А все функции определены в точке у, и, следовательно, все функции определены на множестве А. Каждая функция определена в точке Поэтому если представить рациональную функцию как частное двух взаимно простых полиномов, то знаменатель будет отличен от нуля, когда его аргументы принимают соответственно значения Таким образом, выражение очевидно, имеет смысл и представляет некоторый элемент поля рациональных дробей над Кроме того, все функции определены на множестве А и только для конечного числа индексов у функция Положим является

тогда рациональным отображением пространства V в пространство и имеет место равенство для всех Утверждения леммы доказаны.

При тех же обозначениях, что и выше, в случае, когда множество А не пустое, мы будем называть отображение композицией отображений и записывать его в виде

По поводу этого понятия уместно сделать следующие замечания. 1) Если композиция существует, то ее область определения может быть строго больше, чем множество А тех точек для которых отображения и определены (это лзгко себе уяснить, рассмотрев случай Если — рациональные отображения пространства V в пространство рациональное отображение пространства в пространство то может случиться, что композиции существуют, а композиция не существует. (Это происходит, например, в случае, когда и отображение не определено в точке пространства Это показывает, что понятием композиции рациональных отображений следует пользоваться с большой осторожностью.

Мы определим теперь понятие дифференциала рационального отображения векторного пространства V в векторное пространство Пусть —точка, в которой определено отображение и пусть множество всех рациональных функций, определенных в точке у. Пусть некоторый элемент из отображение является билинейным отображением декартова произведения в пространство это отображение, следовательно, определяет линейное отображение подпространства пространства в пространство Мы обозначим через образ отображения при этом линейном отображении.

Отображение пространства V в пространство очевидно, линейно; мы будем называть его дифференциалом отображения в точке у и обозначать через

Пусть даны точки х и у пространства V, и пусть — векторное пространство (над основным полем К пространства V), состоящее из рациональных отображений пространства V в пространство определенных в точке у. Тогда отображение пространства в пространство линейно.

Пусть — базис пространства и пусть рациональное отображение пространства V в пространство положим где рациональные функции над Если у — точка пространства V, в которой отображение определено, то

Пусть, далее, рациональная функция над пространством V, определенная в точке у. Из формул (2) и (4) непосредственно следует, что

Если линейное отображение, то и все функции линейны, так что следовательно,

Пусть теперь рациональное отображение пространства V в пространство рациональное отображение пространства в векторное пространство Пусть — такая точка пространства V, что отображение определено в а отображение из существования такой точки следует существование композиции Мы покажем, что (для всех

Рассмотрим сначала тот частный случай, когда пространством является основное поле К пространств Тогда рациональная функция над рациональная функция над Формула (7) очевидна, если функция 5 — постоянная, так как в этом случае обе ее части равны 0. Предположим теперь, что линейная функция. Правая часть формулы (7) равна тогда Пусть — базис пространства и пусть где - рациональные

функции над Все эти функции определены в точке у, и мы имеем

так что

Кроме того,

и, следовательно,

Этим формула (7) для случая линейной функции доказана. Пусть теперь две рациональные функции над определенные в точке и такие, что формула (7) справедлива для Композиции существуют, и легко убедиться, что существуют также функции и что они соответственно равны кроме того, если то существует композиция которая равна Для сокращения записи положим

Для имеем

Для

Наконец, если то

Мы видим, что формула (7) справедлива для и [если для ]. Совокупность полиномиальных функций над пространством для

которых формула (7) справедлива, есть подкольцо в множестве всех полиномиальных функций над пространством и это подкольцо содержит постоянные и линейные функции; это показывает, что формула (7) справедлива для всех полиномиальных функций. Если теперь рациональная функция над пространством определенная в точке то можно положить где полиномиальные функции и Мы видим, что формула (7) имеет место и для функции 5.

Чтобы перейти к общему случаю, выберем базис в пространстве и положим 5 где рациональные функции над Все эти функции определены в точке так что композиции существуют. Легко видеть, что имеет место равенство

и, следовательно,

Справедливость формулы (7) для отображения 5 непосредственно вытекает теперь из того факта, что эта формула верна для каждого Формула (7) полностью доказана.

Предложение 10. Пусть А — ассоциативная унитарная алгебра, ее конечномерное векторное подпространство. Обозначим через пространство эндоморфизмов пространства Для целого обозначим через векторное подпространство алгебры А, порожденное произведениями из элементов пространства V, и пусть пространство эндоморфизмов пространства Предположим, что для каждого существует один и только один унитарный эндоморфизм алгебры А, продолжающий эндоморфизм пусть ограничение эндоморфизма на пространство Отображение пространства в пространство является тогда полиномиальным отображением.

Утверждение тривиально для случая так как

есть пространство скаляров алгебры тождественное отображение пространства на себя, так что - постоянное отображение. Предположим, что пусть - базис пространства Для из В имеем

где Для фиксированных и отображение является линейной функцией над Отсюда вытекает, что каждое из отображений

— полиноминальная функция. Но совокупность элементов вида где множители независимо друг от друга пробегают множество содержит некоторый базис С пространства Если выразить произведения в виде линейных комбинаций элементов из С, то ясно, что матрица, представляющая отображение в базисе С, имеет своими коэффициентами полиномиальные функции от Отсюда непосредственно вытекает, что полиномиальное отображение.