§ 9. Дифференциал рационального представления

Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть рациональное отображение группы в векторное пространство полем Пусть такое рациональное отображение пространства в пространство что след отображения на группе и пусть — точка группы в которой отображение определено. Пусть X — элемент алгебры Ли группы Как мы знаем, отображение след на отображения и

Естественно обозначить значение, принимаемое в точке 5 отображением — символом Символ определен, следовательно, если рациональное отображение определено в точке 5 и если -элемент множества

Предложение 1. Пусть рациональное отображение неприводимой алгебраической группы автоморфизмов пространства V в алгебраическую группу автоморфизмов некоторого конечномерного пространства над полем Пусть точка из в которой отображение определено, элемент алгебры Ли группы Тогда

где элемент алгебры Ли группы

Пусть пространство эндоморфизмов пространства Положим

Для доказательства того, что элемент К принадлежит алгебре Ли группы достаточно установить равенство

для всех полиномиальных функций над пространством обращающихся в нуль на группе (предложение 1 § 8). Пусть рациональное отображение пространства в пространств определенное в точке такое, что след отображения на группе Тогда . С другой стороны, легко заметить, что композиция является следом на для и что эта композиция совпадает с нулевым отображением группы в пространство Так как то Из формулы (7) § 4 гл. 1 следует, что Предложение 1 доказано.

Предл ожение 2. При таких же обозначениях, как в предложении 1, предположим дополнительно, что группа неприводима и что дано рациональное отображение группы в векторное пространство над полем К, причем определено в точке Тогда

При тех же обозначениях, что и в доказательстве предложения 1, пусть — рациональное отображение пространства в пространство определенное в точке и такое, что — след отображения на группе Тогда, как нам известно, существует композиция следом которой на группе G является композиция Предложение 2 вытекает теперь непосредственно из формулы (7) § 4 гл. I.

Пусть рациональное отображение группы в векторное пространство и пусть — общая точка группы Положим если X — элемент алгебры Ли группы то существует деривация поля для которой (предложение 4 из § 8). Очевидно, отображение определено в точке точка пространства Символ представляет также точку пространства (определение 3 из § 8). Докажем равенство

Пусть, действительно, и — линейная функция над пространством Имеем

(лемма 1 § 8). Из предложения 2 следует, что

В силу линейности функции последнее выражение равно Поэтому и для всех линейных функций и над пространством что и доказывает формулу (1).

Теорема 6. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства рациональное представление группы автоморфизмами конечномерного пространства над полем К. Пусть -наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов, содержащая группу Обозначим через алгебру Ли группы Если X — элемент алгебры обобщенная точка группы то

где I — единица группы Если общая точка группы деривация поля для которой то

отображает поле в себя. Отображение является гомоморфизмом алгебры в алгебру Ли группы

Пусть надполе поля для которого Рациональное отображение группы продолжающее отображение является рациональным представлением группы (предложение 4 из § 5). Введя в рассмотрение группу вместо группы мы видим, что первое утверждение теоремы 6 достаточно доказать для случая Обозначим через рациональное отображение группы в себя, а через отображение группы в себя. Отображение является следом на группе отображения пространства в себя. Так как -линейное отображение, то

Равным образом

С помощью предложения 2 мы заключаем, что

Но так как отображение представление, Первое утверждение теоремы вытекает теперь из двух последних формул.

Предположим теперь, что - общая точка группы Положим Из формулы (1) и из первого утверждения теоремы 6 следует, что Если выбрать систему координатных функций для пространства эндоморфизмов пространства то координаты элемента будут принадлежать полю К. Тогда образы при отображении координат элемента принадлежат полю Но индуцирует деривацию поля в поле и поле порождается полем К и координатами элемента Это показывает, что отображает поле в себя. Отображение алгебры в алгебру Ли группы очевидно, линейно. Для из имеем

(ср. замечание к доказательству леммы 2 из § 8), так что

и, следовательно,

Легко также убедиться, что

так что

Это показывает, что отображение гомоморфизм алгебры Ли Теорема 6 доказана.

Определение 1. Пусть -алгебраическая группа автоморфизмов пространства рациональное представление группы О автоморфизмами конечномерного векторного пространства над полем К. Пусть алгебраическая компонента единицы группы алгебра Ли группы группы ограничение представления на группу

Гомоморфизм алгебры Ли единица группы О) называется дифференциалом представления и обозначается через

Заметим, что если надполе поля то дифференциал представления рассматриваемого как рациональное представление группы (ср. предложение 4 § 5), является гомоморфизмом алгебры Ли группы продолжающим дифференциал представления рассматриваемого как рациональное представление группы

Предложение 3. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства рациональное пред-, ставление группы О в алгебраическую группу автоморфизмов конечномерного векторного пространства над полем К и а — рациональное представление группы Тогда

Пусть алгебраическая компонента единицы группы О. Из предложения 7 § 6 следует, что представление отображает группу в алгебраическую компоненту единицы группы Предложение 3 поэтому достаточно доказать для случая неприводимых групп Но в этом случае оно непосредственно следует из предложения 2 и из того факта, что отображение переводит единицу группы О в единицу группы И.

Если — алгебраическая подгруппа алгебраической группы О автоморфизмов пространства V, то дифференциал тождественного отображения группы является, очевидно, тождественным отображением алгебры Ли группы в алгебру Ли группы О. Из этого замечания и из предложения 3 вытекает, что если рациональное представление группы то ограничение дифференциала на алгебру Ли группы является дифференциалом ограничения на группу

Если рациональное представление группы О автоморфизмами конечномерного векторного пространства переводит все элементы группы О в тождественный автоморфизм пространства то дифференциал этого представления отображает все элементы алгебры Ли группы в 0. Это утверждение достаточно доказать для случая неприводимой группы Пусть — общая точка группы так что При обозначениях теоремы 6 для имеем

так как координаты элемента (относительно некоторой системы координатных функций для пространства эндоморфизмов пространства принадлежат цолю К. Поэтому Отсюда получаем следующий результат:

Предложение 4. Пусть рациональное представление алгебраической группы и пусть ядро представления Тогда для всех элементов X алгебры Ли группы

Несколько позже мы убедимся, что и, обратно, в случае поля К характеристики условия следует, что эндоморфизм X принадлежит алгебре Ли группы Мы также увидим, что для полей характеристики, отличной от 0, это обратное утверждение не всегда верно.

Предложение 5. Пусть О — алгебраическая группа автоморфизмов пространства рациональное представление группы О автоморфизмами конечномерного пространства над полем К. Пусть -наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая группу Пусть общая точка алгебраической компоненты единицы группы О. Если поле сепарабельное расширение поля отображает алгебру Ли группы О на алгебру Ли группы

Пусть и -алгебраические компоненты единиц групп соответственно. Наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая неприводима (предложение 7 § 6); Так как она содержится в то она содержится также и в Обозначим эту группу через Если — классы смежности группы О по подгруппе то объединение множеств представляет собой группу, содержащую группу подгруппа конечного индекса этой группы. Так как эта группа алгебраическая (предложение 3 из § 3), то она содержит группу Отсюда следует, что подгруппа конечного индекса группы так что (теорема 2 § 3). Мы видим, что предложение 5 достаточно доказать для случая неприводимых групп Но в этом случае, как известно, общая точка группы Я (предложение 8 из § 6). Если элемент алгебры Ли группы то существует деривация поля для которой Так как мы

предположили поле сепарабельным над полем то деривацию О можно продолжить в деривацию поля (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 9, п° 1, предложение 5), Положим Тогда где X — элемент алгебры алгебра Ли группы О (предложение 4 § 8) Пусть базис поля относительно содержащий элемент Элемент можно представить в виде где для Обозначим через деривацию поля для которой Тогда так что для Так как элемент принадлежит алгебре Ли группы то для Отсюда следует, что элемент V лежит в алгебре что и доказывает предложение 5.

Несколько позже мы покажем на примерах, что если несепарабельное расширение поля то утверждение, что дифференциал отображает алгебру Ли группы О на алгебру Ли группы вообще говоря, неверно.

Пусть О — неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства Для обозначим через автоморфизм пространства Ясно, что представление группы Если и — линейная функция над пространством и если то функция определенная равенством эндоморфизм пространства является линейной функцией над пространством эндоморфизмов пространства и всякая линейная функция над является линейной комбинацией функций вида Если то отображение как легко убедиться, есть рациональная функция на группе Отсюда можно заключить, что для всякой линейной функции над пространством отображение рациональная функция на группе и что, следовательно, рациональное представление группы Найдем теперь дифференциал этого представления. Пусть X — элемент алгебры Ли группы и пусть общая точка группы Обозначим через деривацию поля для которой Согласно теореме 6, для определения

достаточно вычислить При тех же обозначениях, что и выше, имеем

Так как координаты точки (относительно некоторой системы координатных функций пространства принадлежат полю то Поэтому из леммы 2 § 8 следует, что

Обозначим через эндоморфизм пространства Тогда

так что следовательно, (теорема 6). Мы получили следующий результат;

Предл ожение 6, Пусть О — алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть алгебра Ли группы Если каждой точке сопоставить автоморфизм пространства то тем самым определяется рациональное представление группы дифференциал которого переводит каждый элемент в эндоморфизм пространства

- Заметим теперь, что алгебра Ли группы является подпространством пространства и что для всех Действительно, пусть X — элемент из Автоморфизм отображает в себя идеал а, соответствующий группе Но тогда, согласно формуле (3) § 8, и отображение переводит идеал, а в себя, так что По аналогии с терминологией, относящейся к группам Ли, мы введем следующее определение;

Определение 2. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть алгебра группы Для мы назовем отображение алгебры в себя присоединенным оператором точки и будем его обозначать через Отображение называется присоединенным представлением группы

Напомним, что для элемента X алгебры Ли под присоединенным оператором элемента X мы понимаем отображение

алгебры в себя и что мы обозначаем этот оператор через Отображение является представлением алгебры Ли и называется присоединенным представлением.

Предложение 7. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Присоединенное представление группы есть рациональное представление, дифференциалом которого является присоединенное представление алгебры Ли группы

Это непосредственно следует из предложения 6.

Предложение 8. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Ядро присоединенного представления группы содержит центр группы

Действительно, пусть элемент из центра группы Тогда этот элемент перестановочен со всеми элементами оболочки группы следовательно, также со всеми элементами алгебры Ли группы (предложение 6 § 8); это показывает, что является тождественным автоморфизмом алгебры Ли группы

Несколько позже мы увидим, что в случае поля К характеристики ядро присоединенного представления совпадает с центром группы Мы также покажем, что такое совпадение в случае полей К характеристики не всегда имеет место.