§ 12. Применение к алгебраическим группам

Мы напоминаем, что характеристика основного поля по предположению, равна нулю.

Теорема 7. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Пусть кольцо формальных рядов от переменной с коэффициентами из поля К.

Эндоморфазм X пространства V принадлежит алгебре Ли группы тогда и только тогда, когда обобщенная точка группы

Предположим сначала, что обобщенная точка группы Пусть поле отношений кольца Деривация по в кольце продолжается в деривацию поля С другой стороны, так что

[формула (3) § 11]. Из предложения 4 § 8 мы, следовательно, можем заключить, что где алгебра Ли группы Но так как то Предположим теперь, наоборот, что Пусть а — идеал, соответствующий группе Обозначим через а идеал, порожденный в кольце элементами где мы покажем, что деривация отображает идеал а в себя. Для имеем

(лемма 1 из § 8). Но последнее выражение равно

[ср. определение 1 и формулу (1) § 8]. Так как то так что

Так как деривация отображает систему образующих идеала в а, то переводит и весь идеал а в себя (предложение 3 § 3 гл. I). Покажем теперь, что Если бы это было не так, то идеал а порождался бы элементом вида где некоторое целое (лемма 1 § 11). Но для всех если — единица группы Кроме того,

отсюда немедленно следует, что для всех так что Но так как то также

что невозможно, так как и характеристика поля К равна 0. Отсюда заключаем, что так что для всех Этим доказано, что обобщенная точка группы

Следствие. При таких же обозначениях, как в теореме 7, предположим, что К — поле вещественных чисел,

так что группа Ли. Алгебра Ли группы рассматриваемой как группа Ли, совпадает с алгеброй Ли этой группы, рассматриваемой как алгебраическая группа. Размерность группы Ли равна размерности алгебраической группы

Как известно, для любого вещественного числа а и для любого эндоморфизма ряд

сходится (в смысле топологии векторного пространства к некоторому эндоморфизму, который обозначается через (том I, гл. I, § 2). Кроме того, X принадлежит алгебре Ли группы рассматриваемой как группа Ли, тогда и только тогда, когда принадлежит группе при всех а (это непосредственно вытекает из следствия 2 предложения 1 § 9 гл. IV тома I). Но для этого необходимо и достаточно, чтобы для всех а и для всех полиномиальных функций над равных нулю на или, что то же самое, чтобы ряды для таких функций были тождественно равны нулю. Первое утверждение следствия вытекает теперь из теоремы 7; второе непосредственно следует из первого, так как размерность группы как группы Ли и размерность как алгебраической группы равны размерности соответствующей алгебры Ли.

Теорема 8. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства алгебра Ли группы пусть базис Пусть поле отношений кольца формальных степенных рядов от переменных с коэффициентами из поля К. Точка

пространства является общей точкой группы

Из теоремы 7 следует, что точки обобщенные точки группы так что и — обобщенная точка группы Для того чтобы доказать, что — общая точка, достаточно проверить, что степень трансцендентности поля относительно поля К не меньше Но эта степень трансцендентности равна размерности относительно поля векторного пространства дериваций поля в поле (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 9, п° 3, теорема 2). Итак, достаточно

показать, что существуют деривации поля для которых точки пространства линейно независимы.

Пусть поле отношений кольца формальных степенных рядов от переменных для Тогда кольцо содержится в кольце формальных степенных рядов от с коэффициентами из поля (ведь всякий элемент кольца можно рассматривать как формальный степенной ряд от коэффициенты которого — степенные ряды от Деривация по 7 в кольце отображает, конечно, кольцо в себя и индуцирует в деривацию отображающую в 0. Эта деривация может быть продолжена в деривацию поля последнюю мы также обозначим буквой Из формулы (3) § 11 следует, что

Положим

тождественный автоморфизм пространства V для Из леммы 2 § 8 непосредственно следует, что так что Покажем теперь, что элементы пространства линейно независимы.

Так как - поле отношений кольца то достаточно показать следующее: если — элементы кольца не все равные нулю, то выражение

равно наибольшему из чисел Имеем

и

С другой стороны, напомним, что для из

так что

для любой системы элементов из 6. Отсюда заключаем, что так что Пусть наибольшее из чисел Если то

Положим

мы видим, что . С другой стороны, элементы образующие базис алгебры линейно независимы в пространстве как мы знаем, отсюда следует, что Но самое большее равно наибольшему из чисел так как то Теорема 8 доказана.

Следствие 1. Пусть — неприводимые алгебраические группы автоморфизмов пространства их алгебры Ли. Для включения На необходимо и достаточно включение тогда и только тогда, когда

В силу следствия предложения 1 § 8, условие необходимо для Предположим, что это условие выполнено. Из теорем 7 и 8 тогда непосредственно вытекает существование общей точки 5 группы являющейся обобщенной точкой группы Каждая точка из -специализация точки 5 и принадлежит группе так что Второе утверждение следствия 1 легко выводится из первого.

Отметим, что для справедливости следствия 1 предположение, что характеристика поля К равна 0, существенно (ср. пример V из § 10).

Следствие 2. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства Тогда оболочка группы совпадает с ассоциативной алгеброй А, порожденной тождественным автоморфизмом I пространства V и элементами алгебры Ли группы

Нам уже известно, что А содержится в оболочке группы (предложение 6 § 8). Для доказательства обратного включения мы, используя обозначения теоремы 8, покажем сначала, что Для того чтобы элемент из принадлежал

необходимо и достаточно, чтобы для всех линейных функций и на равных нулю на А (линейная функция и, конечно, отождествляется с линейной функцией над пространством которая ее продолжает). Но функция и индуцирует непрерывное линейное отображение модуля в кольцо Так как и обращается в нуль на то для Так как функция и непрерывна, то

так что Так как подалгебра алгебры то Пусть теперь любая точка группы эта точка есть специализация точки 5 по отношению к полю К. Из предложения следует тогда, что и специализация элемента так что Так как последнее утверждение справедливо для всех линейных функций и, равных нулю на алгебре А, то что и доказывает следствие 2.

Заметим, что и здесь для справедливости утверждения следствия 2 существенно, что характеристика поля К равна (ср. пример V § 10).

Теорема 9. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства рациональное представление группы автоморфизмами конечномерного векторного пространства над полем Пусть X — элемент алгебры Ли группы Построим кольцо формальных степенных рядов от переменной с коэффициентами из поля К. Тогда

Пусть кольцо степенных рядов от и пусть поле отношений кольца Пусть деривация поля продолжающая деривацию по в кольце Положим

Из формулы (3) § 11 следует тогда, что из леммы 1 § 8 — что а из теоремы что Но каждый элемент из поля можно представить в виде где Действительно, представим данный элемент из полч в виде где а! и принадлежат Из леммы 1 § 11 следует существование показателя для которого так что где

что доказывает наше утверждение. Таким образом, элемент мы можем записать в виде где целое число и где элементы пространства эндоморфизмов пространства Отображение пространства в себя непрерывно, и

Этот элемент равен элементу т. е. элементу Поэтому для Это показывает, что

Теорема будет доказана, как только мы убедимся, что тождественный автоморфизм пространства Мы видели, что Но существует непрерывный гомоморфизм кольца на поле К, отображающий в (это гомоморфизм, сопоставляющий каждому формальному ряду от его постоянный член). Этот гомоморфизм определяет специализацию точки При этом ясно, что тождественный автоморфизм пространства V и что . С другой стороны, обобщенная точка графика представления Так как элемент обратим, то обратим также и элемент Таким образом, точка графика а это показывает, что