§ 2. Градуированные алгебры

Определение 1. Пусть А — алгебра, и пусть абелева группа в аддитивной записи. Предположим, что алгебра А представлена в виде прямой суммы семейства векторных пространств где множество индексов состоит из элементов группы Далее, мы предполагаем, что из элементы следует, что произведение принадлежит пространству Тогда говорят, это разложение в прямую сумму определяет в алгебре А градуировку; А называется в этом случае градуированной алгеброй. Элемент градуированной алгебры А называется однородным, если принадлежит одному из пространств и однородным степени если он принадлежит именно пространству Пусть теперь любой элемент из представим х в виде суммы каждого Слагаемые называются однородными компонентами элемента х, причем называется однородной компонентой степени элемента х.

Например, пусть свободная ассоциативная алгебра множества над полем К. Для каждого целого обозначим через множество линейных комбинаций произведений из последовательностей длины элементов множества для целого положим Тогда очевидно, что алгебра является прямой суммой пространств и что это разложение определяет градуировку в группой степеней которой служит аддитивная группа целых чисел. Однородными элементами степени в алгебре являются скаляры.

В градуированной алгебре А нулевой элемент является, очевидно, сразу однородным элементом всевозможных степеней. Напротив, если однородный элемент, отличный от 0, то существует только одна степень такая, что х является однородным элементом степени можно поэтому говорить о степени такого элемента.

Предложение 1. Пусть А — градуированная унитарная алгебра. Элемент 1 алгебры А является однородным элементом степени 0.

Пусть разложение элемента 1 в сумму его однородных компонент: Пусть однородный элемент некоторой степени из А. Тогда является однородным элементом степени Следовательно, для Так как последнее равенство спраэедливо для всех однородных элементов х, то оно также имеет место для любого в частности и для Поэтому что и доказывает предложение 1.

Определение 2. Пусть А — градуированная алгебра. Векторное подпространство V алгебры А называется однородным у если однородные компоненты всех элементов из V сами принадлежат пространству Базис векторного подпространства алгебры А называется однородным, если он состоит из однородных элементов.

Пусть V — однородное подпространство алгебры А. Так как каждый элемент алгебры А является суммой своих однородных компонент, то векторное пространство V порождается однородными элементами, которые в нем содержатся. Отсюда непосредственно следует, что пространство V обладает однородным базисом. Правильно и обратное, как это видно из следующего предложения:

Предложение 2. Пусть А — градуированная алгебра, подмножество алгебры состоящее из однородных элементов. Пусть соответственно векторное подпространство, подалгебра, левый, правый и двусторонний идеалы, порожденные множеством Тогда векторные подпространства однородны.

Пусть элемент группы степеней градуированной алгебры А. Обозначим через отображение, сопоставляющее каждому элементу А его однородную компоненту степени Ясно, что линейное отображение алгебры А в себя. Если то равен или х, или 0. Поэтому следовательно, т. е. является однородным подпространством. Пусть векторные подпространства алгебры порожденные однородными элементами

множеств соответственно; из доказанного следует, что эти пространства однородны. Так как произведения однородных элементов из подалгебры В сами являются однородными элементами из то сразу видно, что В — подалгебра алгебры Пусть однородный элемент левого идеала любой элемент алгебры представленный в виде суммы своих однородных компонент. Так как все элементы являются однородными элементами из левого идеала то очевидно, что из этого непосредственно вытекает, что левый идеал. Таким же образом заключаем, что является правым, двусторонним идеалом. Но множества и содержат множество и соответственно содержатся в множествах и следовательно, имеем что и доказывает предложение 2.

Следствие. Сумма однородных подпространств градуированной алгебры А является однородным подпространством алгебры А.

Этот факт непосредственно вытекает из предложения 2.

Пусть а — однородный идеал градуированной алгебры А. Пользуясь обозначениями определения 1, мы, кроме того, положим для каждого Так как идеал а однороден, то он является прямой суммой пространств Из этого легко следует, что является прямой суммой пространств если пространства отождествлять с пространствами Если элементы группы то ясно, что произведение элемента из на элемент из находится в отсюда мы заключаем, что разложение определяет градуировку в алгебре Эта градуированная алгебра называется градуированной фактор-алгеброй алгебры А по однородному идеалу а.

Тензорная алгебра над векторным пространством V является фактор-алгеброй свободной ассоциативной алгебры множества V по идеалу, порожденному элементами вида (2) § 1. Эти элементы однородны степени 1, и они, следовательно, порождают однородный идеал (предложение 2). Поэтому в алгебре определена градуировка, для которой аддитивная группа целых чисел является группой степеней. Когда мы будем говорить об алгебре как о градуированной алгебре, мы

будем подразумевать именно эту градуировку. Все однородные элементы степени градуированной алгебры равны нулю, и единственными однородными элементами степени являются скаляры. Элементы из пространства V однородны степени 1. Пусть целое неотрицательное число, и пусть В — базис пространства Пространство однородных элементов степени из обладает базисом, состоящим из всевозможных произведений элементов множества отсюда вытекает, что если V является векторным пространством конечной размерности то конечномерное пространство размерности С другой стороны, как легко видеть, элементы из можно рассматривать как контравариантные тензоры ранга над баки, Алгебра, гл. III, § 4, n° 61).

Если а — однородный идеал алгебры то фактор-алгебра является градуированной алгеброй с аддитивной группой цлых чисел в качестве группы степеней. В градуированной алгебре все однородные элементы степени равны нулю; однородными элементами степени являются скаляры; для однородные элементы степени представляют собой линейные комбинации (или, что то же самое, суммы) произведений из элементов пространства V — образа пространства V при естественном отображении алгебры на алгебру

Предложение 3. Пусть А — градуированная алгебра с аддитивной группой целых чисел в качестве группы степеней; предположим, что все однородные элементы степени алгебры А равны нулю. Обозначим через целое число) множество всех элементов которых все однородные компоненты степени равны нулю. Множество является тогда однородным идеалом алгебры А.

Легко. видеть, что однородное векторное подпространство алгебры А. Пусть однородный элемент степени из и пусть у — элемент из А. Из условий предложения следует, что где обозначает однородную компоненту степени элемента у. Элементы являются однородными степени Если то так что Мы видим, что элементы принадлежат множеству так что является идеалом.

Следствие. Пусть векторное пространство, -тензорная алгебра над подмножество алгебры состоящее из некоторых однородных элементов степени 2, и а — идеал, порожденный множеством в алгебре Тогда естественное отображение алгебры на алгебру индуцирует взаимно однозначное отображение пространства V в алгебру

Действительно, из предложения 3 следует, что идеал а содержится в множестве элементов алгебры все однородные компоненты степени которых равны нулю. Следовательно, что и доказывает следствие.

Определение 3. Пусть две градуированные алгебры над одним и тем же полем и с одной и той же группой степеней Линейное отображение алгебры А в алгебру А называется однородным степени некоторый элемент группы если выполнено следующее условие: для каждого отображение переводит пространство однородных элементов степени алгебры А в пространство однородных элементов степени алгебры А.

В этом случае также говорят, что отображение увеличивает степени на

Линейные однородные отображения степени алгебры А в алгебру А образуют, очевидно, подпространство векторного пространства всех линейных отображений алгебры А в алгебру А, Покажем, что сумма пространств (для всех является прямой. Предположим, что где для каждого только для конечного числа элементов Пусть однородный элемент степени алгебры тогда однородный элемент степени Из формулы из взаимной однозначности отображения следует, что для каждого Отсюда немедленно заключаем, что для каждого Пусть теперь Пространство можно тогда рассматривать как ассоциативную алгебру (где умножением является операция последовательного применения отображений). Легко видеть, что произведение элемента из на элемент из принадлежит Отсюда следует, что подпространство алгебры является подалгеброй и что эта подалгебра

обладает градуировкой с группой в качестве группы степеней. Если А — алгебра конечной размерности, то Действительно, пусть множество однородных элементов степени алгебры А. Так как сумма пространств прямая, а размерность алгебры А конечна, то множество элементов для которых тоже конечно. Пусть -линейное отображение алгебры А в себя. Если и — элементы группы то через мы обозначим линейное отображение, определенное следующими условиями: если то является однородной компонентой степени элемента если и то Ясно, что и что если не принадлежат одновременно Следовательно, только конечное число отображений отлично от нулевого и, как легко видеть, отображение является их суммой, так что

Определение 4. Пусть А — градуированная алгебра, для которой аддитивная группа целых чисел является группой степеней. Пусть разложение элемента х алгебры А в сумму его однородных компонент.

Элемент обозначается через отображение называется главной инволюцией алгебры А.

Очевидно, что главная инволюция алгебры А является линейным отображением и что квадрат этого отображения равен тождественному отображению алгебры А. Кроме того, если х и у — однородные элементы степеней то

Отсюда следует, что главная инволюция является не только линейным отображением, но и инволютивным автоморфизмом алгебры А. Наконец, очевидно, что главная инволюция — однородное отображение степени 0.

Предложение 4. Пусть градуированные алгебры над одним и тем же полем с аддитивной группой целых чисел в качестве группы степеней; пусть главные инволюции алгебр Пусть линейное отображение Если является суммой однородных линейных отображений четной степени, то

если же сумма однородных линейных отображений нечетной степени, то

Очевидно, можно ограничиться случаем, когда отображение само однородно некоторой степени Если х - однородный элемент степени алгебры А, то однородный элемент степени так что

В силу линейности отображения заключаем, что для четного для нечетного

Пусть теперь дано векторное пространство Будем говорить, что в пространстве V определена градуировка с (аддитивной) группой степеней если задано семейство подпространств пространства V, для которого группа является множеством индексов, и если пространство V является прямой суммой подпространств Предположим, что эти условия выполнены. Пространство V можно превратить в алгебру, условившись, что произведение любых двух элементов из V равняется 0. Очевидно, что разложение определяет тогда градуировку и в алгебре Это позволяет перенести на случай градуированных векторных пространств все определения и результаты относительно градуированных алгебр. В частности, можно доказать следующий результат (ср. предложение 2):

Предложение 5. Пусть V — градуированное векторное пространство, а подмножество пространства V, состоящее из однородных элементов. Тогда подпространство пространства V, порожденное множеством однородно. Всякое Однородное подпространство пространства V обладает однородным базисом.

Мы опишем сейчас один способ, который иногда применяется для построения градуировки в векторных пространствах. Напомним, что элемент х векторного пространства V называется собственным вектором эндоморфизма X пространства V, если представим в форме где а — элемент основного поля. Если собственный вектор то элемент а, для которого однозначно определен; он называется собственным значением эндоморфизма X, а про вектор х говорят, что он принадлежит этому собственному значению. Пусть семейство эндоморфизмов пространства V

с некоторым множеством в качестве множества индексов. Мы будем говорить, что элементх пространства V является собственным вектором этого семейства, если собственный вектор эндоморфизма для всех Нас особенно будет интересовать тот случай, когда множество является векторным пространством (над тем же полем, что и пространство V) и когда отображение пространства в векторное пространство эндоморфизмов пространства V линейно; в этом случае говорят, что является линейным семейством эндоморфизмов.

Предположим, что мы находимся в условиях этого случая, и пусть отличный от собственный вектор линейного семейства Положим элемент основного поля. Очевидно, отображение пространства в основное поле является линейной функцией над пространством т. е. элементом пространства, дуального к Мы будем говорить, что элемент х принадлежит линейной функции

Предложение 6. Пусть V — векторное пространство, а — линейное семейство эндоморфизмов пространства Предположим, что V порождается (как векторное пространство) собственными векторами семейства содержащимися в Если элемент пространства дуального к то пусть подпространство пространства V, состоящее из и собственных векторов, принадлежащих Пространство V является тогда прямой суммой подпространств (для всех Всякое подпространство пространства V, инвариантное относительно операторов всех однородно в смысле градуировки, определенной на пространстве V разложением

Тот факт, что пространство V является суммой подпространств непосредственно следует из того, что V порождается собственными векторами семейства Докажем, что эта сумма прямая. Для этого покажем, что если различные элементы пространства элементы пространства V, такие, что то

Доказательство будем вести индукцией по Для наше утверждение очевидно. Предположим, что оно справедливо для целое число При имеем

а также и» следовательно,

Легко видеть, что для каждого данного элемент принадлежит пространству Поэтому, по предположению индукции,

для каждого С другой стороны, для любого индекса —1 найдется такой элемент что так что Отсюда непосредственно следует, что и элемент равен 0, что и доказывает наше утверждение для

Пусть теперь подпространство пространства V, такое, что для всех Каждый элемент определяет при переходе в фактор-пространство эндоморфизм пространства и семейство является линейным.

Класс эквивалентности собственного вектора семейства является собственным вектором семейства Это показывает, что пространство порождается собственными векторами семейстйа содержащимися в этом пространстве. Пусть пространство элементов у из таких, что для всех Из первой части доказательства следует, что сумма пространств прямая.

Пусть теперь разложение вектора в сумму своих однородных компонент (где для всех Пусть класс элемента Имеем причем ясно, что элемент принадлежит Отсюда следует, что для каждого т. е. Это показывает, что однородное подпространство.